王道——数据结构第一章思维拓展

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本文对比分析了递归与非递归两种求解斐波那契数列的算法，详细阐述了它们的时间复杂度，指出递归算法虽然简洁但效率低下，而非递归算法更优。

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求解斐波那契数列的两种算法，分析其时间复杂度。
递归算法：

#include <stdio.h>
long f1( int n );

int main ( void )
{
	int n;
	scanf( "%d", &n );
	long f = f1( n );
	printf( "f(%d) = %ld", n, f );
	return 0;
} 

long f1( int n )
{
	if( n <= 0 )
		return 0;
	else if( n <= 2 )
		return 1;
	else
		return f1( n - 1 ) + f1( n - 2 );
}

由于每一次递归的每一项都会向下分出前面两个元素，所以递归算法的时间复杂度为O（2^n）。
非递归算法：

//求解斐波那契数列
#include <stdio.h>
long f2( int n );

int main ( void )
{
	int n;
	scanf( "%d", &n );
	long f = f2( n );
	printf( "f(%d) = %ld", n, f );
	return 0;
} 

long f2( int n )
{
	if( n <= 0 )
		return 0;
	else if( n <= 2 )
		return 1;
	long p1 = 1, p2 = 1;
	int i;
	for( i = 3; i <= n; i++ ){
		p2 = p1 + p2;
		p1 = p2 - p1;
	}
	return p2;
}

非递归算法的时间复杂度是O（n）。
从上面的对比可以看出，使用递归来求解斐波那契数列是一个很糟糕的决定，原因在于递归的算法造成的很多的重复计算，违背了使用递归算法的合成效益原则。