最小生成树（Prim和Kruskal）

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本文详细介绍了Prim算法和Kruskal算法在求解最小生成树问题中的应用。Prim算法基于顶点集合进行迭代，每次选择最短边连接新顶点至已有的树结构，避免形成回路。Kruskal算法则基于边集，按权值排序逐个考虑边，通过并查集判断和合并顶点集合，直至所有顶点连通。

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Prim:

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

算法描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

以上来源与百度百科，Prim算法通俗来说就是在V这个顶点集合中找出一个点加入到V1集合中，再从V中剩下的顶点中找出离集合V1最近的顶点加到集合V1中，这么做有一个问题是不能判断是否形成了回路，在最小生成树中不允许出现回路，此时可以通过维护两个数组，colsest[i]和lowcost[i],分别表示剩余集合中的节点i到v节点最近的节点closest和最短的距离lowcost[i]。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int INF = 0x3fffffff;
const int N = 100;
bool s[N];
int closest[N];
int lowcost[N];
void Prime(int n, int u0, int c[N][N])
{
int i, j;
s[u0] = true;//访问
for (i = 1; i <= n; i++)//初始化
{
if (i == u0)
{
lowcost[i] = 0;
}
else
{
lowcost[i] = c[u0][i];
s[i] = false;//没被访问
closest[i] = u0;
}
}
for (i = 1; i <= n; i++)
{
int temp = INF;
int t = u0;
for (j = 1; j <= n; j++)
{
if ((!s[j]) && lowcost[j] < temp)
{
t = j;
temp = lowcost[j];//当前最小
}
}
s[t] = true;
for (j = 1; j <= n; j++)
{
if ((!s[j]) && c[t][j] < lowcost[j])
{
lowcost[j] = c[t][j];
closest[j] = t;//离j最近的是t
}
}
}
}
int main()
{
int i, j;
int n, c[N][N], m, u, v, w, sumcost = 0;;
int u0;
cin >> n >> m;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = 1; j <= n; j++)
{
c[i][j] = INF;
}
}
for (i = 1; i <= m; i++)
{
cin >> u >> v >> w;
c[u][v] = c[v][u] = w;
}
cin >> u0;
Prime(n, u0, c);
for (i = 1; i <= n; i++)
{
cout << lowcost[i] << " ";
sumcost += lowcost[i];
}
cout << endl << sumcost << endl;
return 0;
}

Prim算法是基于顶点集合是最小生成树算法，时间复杂度为O(n^2)，辅助空间为O(n)，可以通过找集合V到V1最短边用优先队列，边判断用邻接表，可以将时间复杂度降到O(Elogn)；

另一个最小生成树算法,Kruskal算法是基于边集的最小生成树算法

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中（同一集合中算法结束）

通俗来讲，该算法是找权值最小的边，如果权值最小的边的两个顶点不再同一个集合，就将该边的权值累加到最终结果中去，并且将两个顶点合并成一个集合，算法过程就是找最小->判断->合并->找最小->判断->合并。。。。直到所有顶点合并成一个集合算法结束。该算法的时间复杂度为O(n^2)，在合并的时候产生的，可以通过用并查集将时间复杂度降到O(Elogn)

代码：