快速幂运算，快速幂取模运算，及慢速乘法

最新推荐文章于 2022-03-03 17:44:45 发布

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#c #c++ #算法 #快速幂 #牛客小白月赛12：B. 华华教月月做数学

本文详细介绍了快速幂运算的原理及实现代码，包括基本的快速幂运算、快速幂后求模运算以及处理大数据时的慢速乘法。通过具体实例解释了如何将大指数分解为二进制形式进行高效计算，适用于解决大数幂运算和模运算问题。

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1.快速幂运算

求x的n次方，或其对mod求模的问题用到快速幂运算，代码如下非常简单，这里做一点解释


typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x, ll n)
{
	ll ans = 1, base = x;
	while(n > 0)
	{
		if(n & 1) ans = ans * base;//若n的二进制最低位是1, ans需要乘上base
		base = base * base;
		n >>= 1; //n二进制右移
	}
	return ans;
}

解释
例如x^22 = x ^ 16 * x ^ 4 * x ^ 2(22 的二进制是10110）
都可以做如上转换
带入上面代码，首先n的二进制尾数为0，不进行ans * base运算，
接下来base = x * x， n右移。
n二进制尾数是1 ans = ans * base，一步步过去， ans陆续乘上x的二，四，十六次方，函数返回最终结果。

2.对于快速幂后求模的添加一点即可



typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
	ll ans = 1, base = x;
	while(n > 0)
	{
		if(n & 1) ans = ans * base % mod;//若n的二进制最低位是1, res作为最终结果需要乘上x
		base = base * base % mod;
		n >>= 1; //n二进制右移
	}
	return ans;
}

3.慢速乘法
若数据过大可以看到ans * base会爆long long 的内存, 因为是先乘后求模，所以需要使得ans * base在mod的范围内，这里就用到了慢速乘法。

ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
	ll ans  = 0, base = a;
	while(b)
	{
		if(b & 1) ans = (ans + base) % mod;
		base = (base + base) % mod;
		b >>= 1;
	}

	return ans;
}

ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
	ll ans  = 1, base = x % mod;
	while(n)
	{
		if(n & 1) ans = mul(ans, base, mod);				//慢乘， 其原理和快速幂相似。
		base = mul(base, base, mod);
		n >>= 1;
	}

	return ans;
}

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#include<iostream>
#include<set>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
	ll ans  = 0, base = a;
	while(b)
	{
		if(b & 1) ans = (ans + base) % mod;
		base = (base + base) % mod;
		b >>= 1;
	}

	return ans;
}

ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
	ll ans  = 1, base = x;
	while(n)
	{
		if(n & 1) ans = mul(ans, base, mod);
		base = mul(base, base, mod);
		n >>= 1;
	}

	return ans;
}

int main()
{
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while(t--)
	{
		ll a, b, p;
		scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &p);
		printf("%lld\n", mod_pow(a, b, p));
	}
}