B-LIS&LCS && C-拿数问题（Week10作业）

最长序列算法解析

最新推荐文章于 2020-08-06 22:51:31 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-06 22:51:31 发布 · 207 阅读

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本文深入探讨了最长递增子序列(LIS)与最长公共子序列(LCS)的算法原理及其实现过程，通过具体示例讲解了转移方程的运用，并提供了一种拿数问题的解决方案，展示了如何通过动态规划解决复杂序列问题。

B - LIS & LCS

题目

在这里插入图片描述
Simple Input

5 5
1 3 2 5 4
2 4 3 1 5

Simple Output

3 2

实现思路

LIS：最长递增子序列，f[i]表示以a[i]结尾的最长递增子序列长度

转移方程：

f[i]=max(f[i],f[j]+1)

LCS:最长公共子序列，f[i][j]表示以a[i]或b[j]结尾的最长公共子序列长度

转移方程：

if(a[i]==b[j])
	c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
else
	c[i][j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j]);

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5005;
int ans1,ans2,n,m;
int a[maxn],b[maxn],fa[maxn],c[maxn][maxn];
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		fa[i]=1;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>b[i];
	//LIS
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<i;j++)
			if(a[j]<a[i])	
				fa[i]=max(fa[j]+1,fa[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans1=max(ans1,fa[i]);
	printf("%d ",ans1);
	
	//LCS
	//表格初始化
	for(int i=0;i<max(m,n)+1;i++)
	{
		c[0][i]=0;
		c[i][0]=0;
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(a[i]==b[j])
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
			else
				c[i][j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j]);
		}
	}
	printf("%d",c[n][m]);
	return 0;
 }

拿数问题

题目

在这里插入图片描述
Example
Input

2
1 2

Output

Input

3
1 2 3

Output

Input

9
1 2 1 3 2 2 2 2 3

Output

在这里插入图片描述

题目思路

题目中的要求是拿了数x后，x-1和x+1就不可拿。这个问题可以让我们联想到之前的拿数问题，拿了第i个位置的数字后，第i-1和i+1个数字变得不可拿。类比上一个拿数问题，这个拿数问题二也可以用类似的方法完成。两个一维数组，a[ ]索引表示数的大小，存的值表示所给序列中一共有多少个该数值 * 数的值。

转移方程

f[i]=max(f[i-1],f[i-2]+a[i]);

最后选出最大f[i]即可。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010;
long long a[maxn],f[maxn];
long long n,tmp,r,ans;
int main()
{
	cin>>n;
	a[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&tmp);
		a[tmp]+=tmp;
		r=max(r,tmp);
	}
	f[1]=a[1];
	for(int i=2;i<=r;i++)
		f[i]=max(f[i-1],f[i-2]+a[i]);
	for(int i=1;i<=r;i++)
		ans=max(f[i],ans);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}