最大上升子序列最大公共子序列

注：【LeetCode-面试算法经典】【121-Best Time to Buy and Sell Stock（最佳买卖股票的时间）】这道题记得刷一下

后续还有几个dp问题和解法，比较经典

最大上升子序列

下手角度：

状态方程这样入手，首先，LIS(i)表示的是，以第i个数为结尾的最大上升子序列的长度（这个第i个数一定是这个前i个数中最大上升子序列的最后一个数，也就是必须选取的，以往的都是分成可以选或者不选）

那么

想要知道以i结尾的最大值，就要去找前面比这第i个数小的序列，只要比它大，就+1，当然不止一个，要挑最大的

if(arr[i]>arr[j]

LIS(i)=max(j<i)(LIS[j]+1)

这样最后形成了这样一个数组，每个下表i存储的都是以当前值为结尾的最大上升子序列，因为最大上升子序列的长度必然包含在当前数组中，那么找出这个vector的最大值就是这m个数所构成的最大上升子序列的长度

摆动序列

wiggle subsequence说明

最大上升子序列单纯的就是找到不必相邻的数组主次递增，那么摆动序列呢，就是可以先增再减，也可以先减后增。所以这次设立两个数组

up[i]:同样i还是最后一个元素，它表示的是第i个元素和第i-1个元素的差值是正的（arr[i]-arr[i-1]>0),于是从数组0到n-1每个位置都记录着相对上升子序列

dn[i]:它表示的是第i个元素和第i-1个元素的差值是负的（arr[i]-arr[i-1]<0),于是从数组0到n-1每个位置都记录着相对下降子序列

对于第i位置的元素，先在(0~i-1)找到比arr[i]小的arr[j]下表j，当然有好多个，因为要组成摆动序列，所以这时候要知道位置j的相对下降子序列的长度，

同样对于比arr[i]大的arr[j]下表j，采取相似处理

vetor<int>up(arr.size(),1);
vetor<int>dn(arr.size(),1);
if(arr.size()==0)
return 0;
up[0]=dn[0]=1;




for(int i=1;i<n;i++)
{
 for(int j=0;j<i;j++)
 {
  if(arr[i]>arr[j])
  {
   up[i]=max(up[i],dn[j]+1);
   }
  if(arr[i]<arr[j])
  {
   dn[i]=max(dn[i],up[j]+1);
   }
  }
 }
  //现在up和dn数组都存储了当前该位置最大的摆动子序列，现在对这两个数组进行遍历，
  //找到最大值,最大值即为该位置的最大摆动子序列
  int res=0;
  for(int i=0;i<n;i++)
  
  {
   res=max(res,up[i],dn[i]);
   }
  return res;

最大公共子序列：

LCS

就是两个字符串，找出最长的相同子串（可以不相邻）

因为是两个字符串，而且长度也不一样，所以可以想到用二维数组搞定

memo[i][j]表示字符串1和字符串2在0~i 和0~j范围内最大长度公共子串，

如果

str[i]==str[j]两个字符串最后以为相同，那么

memo[i][j]=memo[i-1][j-1]+1,就在两个字符串0~i-1和0~j-1找公共字符串，那这些都已经被记录在memo中了

如果两个不等，那么

memo[i][j]=max(memo[i][j-1],memo[i-1][j]);

背包类似问题和相似问题解法

1.leetcode377

combination sum4

给定一个数组，这个数组没有重复的，我想用这几个数来组成我想要的数m，我想知道能有几种方法

这个数组可以是这样的arr={1，2，3，4，5......}这种的，但是每个元素是无限的可以随便取

解法：

很容易想到这个和硬币问题极其相似，只不过这次求的是组合数，有两个限制，一个target数，一个用数字种类，即个数，这就和背包问题相似了

memo[i][j]=memo[i-1][j]+memo[i][j-arr[i]];

解释：首先是用0~i个数来组成j的组合数，这个就和无限拿取的背包问题类似了，只不过这个还涉及了顺序？？？？

解法2

数组arr[i]

求从1~target，每个数可以到达的组合数

vector<int>memo(target-1,0)

for(int i=1;i<=target;i++)

for(int j=0;j<arr.size()-1;j++)

if(i+j<=target)

memo[i+arr[j] ]+=memo[i]+1;

2.leetcode 322

coin change

给定一个面额的数字，最少需要多少硬币来组成这个面额，可以无限次使用，其实这还是一个无限背包问题

memo[i] [j]=memo[i-1] [j];

如果第i个硬币面额比目标面额j小

if(arr[i]<j)

memo[i] [j]=min(memo[i] [j],memo[i] [j-arr[i] ]+1)//状态转移方程

方法2

memo[i]------目标面额i所需要最少的面额

for(int i=1;i<=target;i++)

for(for(int j=0;j<arr.size()-1;j++)

memo[i+arr[j] ]=min(memo[i+arr[j ] ],memo[i]+1)

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具体思路和dp问题继续补充

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