全排列问题

全排列问题

含有重复数字的全排列问题

算法1

(回溯算法) $O(n^2)$

由于有重复元素的存在，这道题的枚举顺序和 Permutations 不同。

• 先将所有数从小到大排序，这样相同的数会排在一起；
• 从左到右依次枚举每个数，每次将它放在一个空位上；
• 对于相同数，我们人为定序，就可以避免重复计算：我们在dfs时记录一个额外的状态，记录上一个相同数存放的位置 start，我们在枚举当前数时，只枚举 start+1,start+2,…,nstart+1,start+2,…,n 这些位置。
• 不要忘记递归前和回溯时，对状态进行更新。

时间复杂度分析：搜索树中最后一层共 n! 个节点，前面所有层加一块的节点数量相比于最后一层节点数是无穷小量，可以忽略。且最后一层节点记录方案的计算量是$O(n)$，所以总时间复杂度是 $O(n\times n!)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    vector<bool> st;
    vector<int> path;
    vector<vector<int>> ans;

    vector<vector<int>> permutation(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        st = vector<bool>(nums.size(), false);
        path = vector<int>(nums.size());
        dfs(nums, 0, 0);
        return ans;
    }

    void dfs(vector<int>& nums, int u, int start)
    {
        if (u == nums.size())
        {
            ans.push_back(path);
            return;
        }

        for (int i = start; i < nums.size(); i ++ )
            if (!st[i])
            {
                st[i] = true;
                path[i] = nums[u];
                if (u + 1 < nums.size() && nums[u + 1] != nums[u])
                    dfs(nums, u + 1, 0);
                else
                    dfs(nums, u + 1, i + 1);
                st[i] = false;
            }
    }

};

互不相同数字的全排列问题

算法1

(回溯算法) $O(n\ast n!)$

我们从前往后，一位一位枚举，每次选择一个没有被使用过的数。
选好之后，将该数的状态改成“已被使用”，同时将该数记录在相应位置上，然后递归。
递归返回时，不要忘记将该数的状态改成“未被使用”，并将该数从相应位置上删除。

时间复杂度分析：搜索树中最后一层共 n! 个节点，前面所有层加一块的节点数量相比于最后一层节点数是无穷小量，可以忽略。且最后一层节点记录方案的计算量是$O(n)$，所以总时间复杂度是 $O(n\times n!)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> ans;
    vector<bool> st;
    vector<int> path;

    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {

        for (int i = 0; i < nums.size(); i ++ ) st.push_back(false);
        dfs(nums, 0);
        return ans;
    }

    void dfs(vector<int> &nums, int u)
    {
        if (u == nums.size())
        {
            ans.push_back(path);
            return ;
        }

        for (int i = 0; i < nums.size(); i ++ )
            if (!st[i])
            {
                st[i] = true;
                path.push_back(nums[u]);
                dfs(nums, u + 1);
                st[i] = false;
                path.pop_back();
            }
    }
};

当然也可以用stl库里面的函数next_permutation函数

class Solution {
public:
    vector<vector<int>>ans;
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(),nums.end());
        do {
            ans.push_back(nums);
        } while (next_permutation(nums.begin(), nums.end()));
        return ans;
    }
};

参考

1. 剑指offer
2. https://www.acwing.com/solution/LeetCode/content/124/