【LOJ3046】「ZJOI2019」语言

最新推荐文章于 2022-05-27 11:38:56 发布

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该博客主要介绍了如何解决LOJ3046题目的思路，涉及到在图论中枚举路径一端，并利用线段树维护DFS序，计算虚树大小。通过线段树合并处理加点和删点操作，同时使用ST表预处理实现O(1)询问最近公共祖先（LCA），整体时间复杂度为O(NLogN+MLogN)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

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【思路要点】

考虑枚举最终路径的一端 $x$ ，那么路径的另一端 $y$ 应当在所有过 $x$ 的路径的并上，也即这些路径两端所有点形成的虚树上，因此，我们需要知道这个虚树的大小。
注意到虚树大小即为将点按照 $d f s$ 序环形排列后相邻的点在原树上距离和的一半，可以用线段树维护 $d f s$ 序，记录区间最左、最右侧的点，以及区间相邻点的距离和，即可支持加点和删点。
用线段树合并即可计算答案，为保证复杂度，需要用 $S T$ 表预处理后 $O (1)$ 询问 $L c a$ 。
时间复杂度 $O (N L o g N + M L o g N)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
const int MAXP = 8e6 + 5;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
vector <int> a[MAXN];
int tot, seq[MAXN], home[MAXN], Real[MAXN];
int n, m, timer, depth[MAXN], father[MAXN], dfn[MAXN];
namespace rmq {
	const int MAXN = 2e5 + 5;
	const int MAXLOG = 18;
	int Min[MAXN][MAXLOG], Log[MAXN];
	int comb(int x, int y) {
		return (depth[x] < depth[y]) ? x : y;
	}
	int queryMin(int l, int r) {
		int len = r - l + 1, tmp = Log[len];
		return comb(Min[l][tmp], Min[r - (1 << tmp) + 1][tmp]);
	}
	void init(int *a, int n) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			Min[i][0] = a[i];
			Log[i] = Log[i - 1];
			if ((1 << (Log[i] + 1)) <= i) Log[i]++;
		}
		for (int t = 1; t < MAXLOG; t++)
		for (int i = 1, j = (1 << (t - 1)) + 1; j <= n; i++, j++)
			Min[i][t] = comb(Min[i][t - 1], Min[j][t - 1]);
	}
}
void work(int pos, int fa) {
	dfn[pos] = ++timer;
	Real[timer] = pos;
	seq[++tot] = pos;
	home[pos] = tot;
	father[pos] = fa;
	depth[pos] = depth[fa] + 1;
	for (auto x : a[pos])
		if (x != fa) {
			work(x, pos);
			seq[++tot] = pos;
		}
}
inline int lca(int x, int y) {
	if (home[x] > home[y]) swap(x, y);
	return rmq :: queryMin(home[x], home[y]);
}
inline int dist(int x, int y) {
	x = Real[x], y = Real[y];
	return depth[x] + depth[y] - 2 * depth[lca(x, y)];
}
struct SegmentTree {
	struct Node {
		int lc, rc, leaf;
		int sum, cnt, lpos, rpos;
	} a[MAXP];
	int size, n;
	void init(int x) {
		n = x;
		size = 0;
	}
	void update(int root) {
		a[root].sum = a[a[root].lc].sum + a[a[root].rc].sum;
		if (a[a[root].lc].rpos && a[a[root].rc].lpos) a[root].sum += dist(a[a[root].lc].rpos, a[a[root].rc].lpos);
		if (a[a[root].lc].lpos) a[root].lpos = a[a[root].lc].lpos;
		else a[root].lpos = a[a[root].rc].lpos;
		if (a[a[root].rc].rpos) a[root].rpos = a[a[root].rc].rpos;
		else a[root].rpos = a[a[root].lc].rpos;
	}
	void modify(int &root, int l, int r, int pos, int val) {
		if (root == 0) root = ++size;
		if (l == r) {
			a[root].cnt += val;
			a[root].leaf = l;
			if (a[root].cnt) a[root].lpos = a[root].rpos = pos;
			else a[root].lpos = a[root].rpos = 0;
			return;
		}
		int mid = (l + r) / 2;
		if (mid >= pos) modify(a[root].lc, l, mid, pos, val);
		else modify(a[root].rc, mid + 1, r, pos, val);
		update(root);
	}
	void modify(int &root, int pos, int val) {
		return modify(root, 1, n, pos, val);
	}
	int merge(int x, int y) {
		if (x == 0 || y == 0) return x + y;
		if (a[x].leaf) {
			a[x].cnt += a[y].cnt;
			if (a[x].cnt) a[x].lpos = a[x].rpos = a[x].leaf;
			else a[x].lpos = a[x].rpos = 0;
			return x;
		}
		a[x].lc = merge(a[x].lc, a[y].lc);
		a[x].rc = merge(a[x].rc, a[y].rc);
		update(x);
		return x;
	}
	void join(int &to, int from) {
		to = merge(to, from);
	}
} ST;
int root[MAXN]; ll ans;
void getans(int pos, int fa) {
	for (auto x : a[pos])
		if (x != fa) {
			getans(x, pos);
			ST.join(root[pos], root[x]);
		}
	if (ST.a[root[pos]].lpos != ST.a[root[pos]].rpos) {
		int now = ST.a[root[pos]].sum;
		now += dist(ST.a[root[pos]].lpos, ST.a[root[pos]].rpos);
		ans += now / 2;
	}
}
int main() {
	read(n), read(m);
	for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
		int x, y; read(x), read(y);
		a[x].push_back(y);
		a[y].push_back(x);
	}
	work(1, 0);
	ST.init(n);
	rmq :: init(seq, tot);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y; read(x), read(y);
		int z = father[lca(x, y)];
		ST.modify(root[x], dfn[x], 1);
		ST.modify(root[x], dfn[y], 1);
		ST.modify(root[y], dfn[x], 1);
		ST.modify(root[y], dfn[y], 1);
		ST.modify(root[z], dfn[x], -2);
		ST.modify(root[z], dfn[y], -2);
	}
	getans(1, 0);
	writeln(ans / 2);
	return 0;
}