【CodeChef】Strange Transform

最新推荐文章于 2021-11-03 21:46:52 发布

cz_xuyixuan

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分类专栏：【类型】做题记录【OJ】CodeChef 【算法】Lucas定理【算法】动态规划【算法】平衡规划

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本文深入探讨了异或运算在动态规划中的应用，通过将异或视为模2加法，提出了一个高效算法解决特定问题。文章详细解释了如何通过递归和预处理策略，将复杂度降低至O(N√N+Q√N)，并提供了完整代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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【思路要点】

若我们将每一位分开考虑，异或可以看做模 $2$ 意义下的加法。
因此，一个位置 $f_{k,x}$ 的值可以看做从 $(k, x)$ 出发，每次可以选择从 $(x, y)$ 走到 $(x - 1, y), (x, y + 1)$ ，最终停在 $0,x)\ (f_{0,x}=1)$ 处的方案数对 $2$ 取模。
因此， $f_{k_1,x}\equiv\sum_{i=0}^{k_1-k_2}f_{k_2,x+i}*\binom{k_1-k_2}{i}\ (Mod \ 2)$ 。
注意到由 $L u c a s$ 定理，当且仅当 $a$ 在二进制下数位包含 $b$ ， $\binom{a}{b}\%2=1$ ，上式有特殊情况： $f_{k,x}\equiv f_{k-2^i,x}+f_{k-2^i,x+2^i}\ (Mod \ 2)$ 。
现在我们来考虑一个询问 $(k, x)$ ，由上面的推断，我们令 $k=k\&(2^{18}-1)$ 不会使答案发生变化，下令 $k = O (N)$ 。
若 $k≤O(\sqrt{N})$ ，我们可以预处理出 $f_{k,*}$ 的结果，直接查询。
若 $k>O(\sqrt{N})$ ，令 $b i t$ 表示 $k$ 最高的为 $1$ 的位置，则有 $f_{k,x}=f_{k-2^{bit},x}\oplus f_{k-2^{bit},x+2^{bit}}$ ，递归求解即可。
时间复杂度 $O(N\sqrt{N}+Q\sqrt{N})$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
const int MAXM = 512;
const int goal = 511;
const int Min = 262143;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int n, m, type;
int a[MAXM][MAXN];
int work(int pos, int k) {
	if (k == 0) return a[type][pos];
	int tmp = k & -k, ans = 0;
	ans ^= work(pos, k ^ tmp);
	if (pos + tmp <= n) ans ^= work(pos + tmp, k ^ tmp);
	return ans;
}
int main() {
	read(n), read(m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		read(a[0][i]);
	for (int i = 1; i <= goal; i++)
	for (int j = 1; j <= n; j++)
		a[i][j] = a[i - 1][j] ^ a[i - 1][j + 1];
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int k, x;
		read(k), read(x);
		k &= Min, type = k & goal;
		writeln(work(x, k ^ type));
	}
	return 0;
}