【LOJ2324】「清华集训 2017」小 Y 和二叉树

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【算法】动态规划

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本文介绍了一种在给定树中寻找最优根节点的算法，该算法通过深度优先搜索确定每个节点的最小度数节点，并利用动态规划优化比较不同根节点下的答案。最终，算法能在O(N)的时间复杂度内找到使树结构最优化的根节点。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

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【思路要点】

答案的第一位一定是编号最小的度数不为 $3$ 的节点，不妨设为 $r o o t$ ，以 $r o o t$ 为根， $i$ 的子树内编号最小的度数不为 $3$ 的节点为 $dp_i$ 。
在这个思路上，我们考虑如何比较 $x$ 和 $y$ 两点作为根节点时的答案哪个更优。
$1$ 、当 $lca(x,y)\ne x,y$ ，比较 $l c a (x, y)$ 的 $x$ 所在子树 $l x$ 的 $dp_{lx}$ 和 $y$ 所在子树 $l y$ 的 $dp_{ly}$ 。
$2$ 、当 $l c a (x, y) = x$ （ $= y$ 同理），比较 $l c a (x, y)$ 的 $y$ 所在子树 $l y$ 的 $dp_{ly}$ 和 $l y$ 。（实际上不考虑这一点就可以通过原题的数据，但过不了样例……）
如此，我们找到了最终答案的根节点， $O (N)$ 找到最优答案即可。
时间复杂度 $O (N)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int INF = 1e9;
using namespace std;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
const int MAXBUF = 1 << 23;
char B[MAXBUF], *S = B, *T = B;
char getc() {
	if (S == T) T = (S = B) + fread(B, 1, MAXBUF, stdin);
	if (S == T) return 0;
	else return *S++;
}
template <class T>
void read(T &a) {
	static char c;
	static int fh;
	while (((c = getc()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') fh = -1, a = 0;
	else fh = 1, a = c - '0';
	while ((c = getc()) <= '9' && c >= '0') a = (a << 3) + (a << 1) + c - '0';
	a *= fh;
}
char Buff[MAXBUF], *st = Buff;
template <class T>
void write(T a) {
	if (a == 0) *st++ = '0';
	else {
		if (a < 0) *st++ = '-', a = -a;
		static char c[20];
		static int c0;
		c0 = 0;
		while (a) c[c0++] = a % 10 + '0', a /= 10;
		while (c0--) *st++ = c[c0];
	}
}
int n, k[MAXN], a[MAXN][4], ans[MAXN];
int minnum[MAXN], num[MAXN], tans[MAXN];
int tot, ansroot, vis[MAXN], dp[MAXN], father[MAXN];
void dfs(int pos, int fa) {
	int tmp = 0;
	if (fa) tmp = 1;
	if (k[pos] == tmp) {
		minnum[pos] = pos;
		return;
	}
	if (k[pos] - tmp == 1) {
		minnum[pos] = pos;
		for (int i = 1; i <= k[pos]; i++)
			if (a[pos][i] != fa) {
				dfs(a[pos][i], pos);
				minnum[pos] = min(minnum[pos], minnum[a[pos][i]]);
			}
	} else {
		minnum[pos] = INF;
		for (int i = 1; i <= k[pos]; i++)
			if (a[pos][i] != fa) {
				dfs(a[pos][i], pos);
				minnum[pos] = min(minnum[pos], minnum[a[pos][i]]);
			}
	}
}
void work(int pos, int fa) {
	int tmp = 0;
	if (fa) tmp = 1;
	if (k[pos] == tmp) {
		ans[++tot] = pos;
		return;
	}
	if (k[pos] - tmp == 1) {
		if (minnum[pos] == pos) ans[++tot] = pos;
		for (int i = 1; i <= k[pos]; i++)
			if (a[pos][i] != fa) work(a[pos][i], pos);
		if (minnum[pos] != pos) ans[++tot] = pos;
	} else {
		for (int i = 1; i <= k[pos]; i++)
			if (a[pos][i] != fa && minnum[pos] == minnum[a[pos][i]]) work(a[pos][i], pos);
		ans[++tot] = pos;
		for (int i = 1; i <= k[pos]; i++)
			if (a[pos][i] != fa && minnum[pos] != minnum[a[pos][i]]) work(a[pos][i], pos);
	}
}
void getans(int pos) {
	tot = 0;
	dfs(pos, 0);
	work(pos, 0);
}
void getdp(int pos, int fa) {
	father[pos] = fa;
	if (fa == 0) dp[pos] = pos;
	else dp[pos] = INF;
	if (k[pos] <= 2) chkmin(dp[pos], pos);
	for (int i = 1; i <= k[pos]; i++)
		if (a[pos][i] != fa) {
			getdp(a[pos][i], pos);
			chkmin(dp[pos], dp[a[pos][i]]);
		}
}
bool tryroot(int pos, int lca) {
	if (ansroot == 0) {
		ansroot = pos;
		return true;
	}
	if (lca != ansroot) {
		int newr = 0, oldr = 0;
		for (int i = 1; i <= k[lca]; i++) {
			if (a[lca][i] != father[lca] && vis[a[lca][i]] == 1) oldr = a[lca][i];
			if (a[lca][i] != father[lca] && vis[a[lca][i]] == 2) newr = a[lca][i];
		}
		bool ans = dp[newr] < dp[oldr];
		if (ans) ansroot = pos;
		return ans;
	} else {
		int tmp = 0;
		for (int i = 1; i <= k[lca]; i++)
			if (a[lca][i] != father[lca] && vis[a[lca][i]] == 1) tmp = a[lca][i];
		bool ans = tmp < dp[tmp];
		if (ans) ansroot = pos;
		return ans;
	}
}
bool getroot(int pos, int fa, int lca) {
	bool ans = false;
	vis[pos] = 1;
	if (fa && k[pos] <= 2) ans |= tryroot(pos, lca);
	for (int i = 1; i <= k[pos]; i++)
		if (a[pos][i] != fa) {
			if (ans) getroot(a[pos][i], pos, pos);
			else ans |= getroot(a[pos][i], pos, lca);
		}
	vis[pos] = 2;
	return ans;
}
void update() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (tans[i] < ans[i]) break;
		if (tans[i] > ans[i]) return;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans[i] = tans[i];
}
int main() {
	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(k[i]);
		for (int j = 1; j <= k[i]; j++) read(a[i][j]);
	}
	int root = INF;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (k[i] <= 2) {
			root = i;
			break;
		}
	getans(root);
	memcpy(tans, ans, sizeof(ans));
	getdp(root, 0);
	getroot(root, 0, root);
	getans(ansroot);
	update();
	for (int i = 1; i <= n; i++) write(ans[i]), *st++ = i == n? '\n' : ' ';
	fwrite(Buff, 1, st - Buff, stdout);
	return 0;
}