【BZOJ4709】【JSOI2011】柠檬

最新推荐文章于 2019-09-13 17:15:26 发布

cz_xuyixuan

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分类专栏：【OJ】BZOJ 【类型】做题记录【数据结构】栈与单调栈【算法】动态规划【算法】决策单调性

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【算法】动态规划

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本文介绍了一种解决特定区间划分问题的高效算法。该算法通过维护单调栈来动态更新决策点，确保每次选择都是当前最优解，适用于需要将序列划分成多个特定条件区间的场景。时间复杂度为O(NLogN)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

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【思路要点】

分出的区间应当头、尾元素均为\(s_0\)，否则可以使不是\(s_0\)的元素自成一段来使答案更优。
因此，我们将每个位置按照\(s_i\)分类，分别处理。
考虑\(i<j\)且\(s_i=s_j\)，一旦在某个位置\(k\)，决策点\(i\)优于决策点\(j\)，那么决策点\(i\)就会始终优于决策点\(j\)，这是由于转移方程中出现次数上具有平方，因此较靠前的决策点增长较快。
因此，我们对每种\(s_i\)维护一个单调栈来维护一个有序的决策集合，并记录集合中相邻的两个决策点最优性发生变化的时刻即可。
时间复杂度\(O(NLogN)\)。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int MAXM = 10005;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
long long f[MAXN];
int n, m, s[MAXN], home[MAXN], top[MAXN];
vector <int> pos[MAXM], q[MAXM], ql[MAXM], qr[MAXM];
long long calc(int from, int to) {
	return f[from - 1] + 1ll * s[to] * (home[to] - home[from] + 1) * (home[to] - home[from] + 1);
}
int main() {
	freopen("BZOJ4709.in", "r", stdin);
	freopen("BZOJ4709.out", "w", stdout);
	read(n); m = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(s[i]), pos[s[i]].push_back(i);
		home[i] = pos[s[i]].size() - 1;
		chkmax(m, s[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		q[i].resize(pos[i].size());
		ql[i].resize(pos[i].size());
		qr[i].resize(pos[i].size());
		top[i] = -1;
	}
	q[s[1]][++top[s[1]]] = 1;
	ql[s[1]][top[s[1]]] = 0;
	qr[s[1]][top[s[1]]] = pos[s[1]].size() - 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int col = s[i];
		f[i] = calc(q[col][top[col]], i);
		if (i == n) break;
		col = s[i + 1];
		while (top[col] != -1 && home[i + 1] > qr[col][top[col]]) top[col]--;
		if (top[col] == -1 || calc(i + 1, i + 1) > calc(q[col][top[col]], i + 1)) {
			while (top[col] != -1 && calc(i + 1, pos[col][qr[col][top[col]]]) >= calc(q[col][top[col]], pos[col][qr[col][top[col]]])) top[col]--;
			if (top[col] == -1) {
				top[col]++;
				q[col][top[col]] = i + 1;
				ql[col][top[col]] = home[i + 1];
				qr[col][top[col]] = pos[col].size() - 1;
			} else {
				
				int pl = home[i + 1], pr = qr[col][top[col]];
				while (pl < pr) {
					int mid = (pl + pr + 1) / 2;
					if (calc(i + 1, pos[col][mid]) >= calc(q[col][top[col]], pos[col][mid])) pl = mid;
					else pr = mid - 1;
				}
				ql[col][top[col]] = pl + 1;
				top[col]++;
				q[col][top[col]] = i + 1;
				ql[col][top[col]] = home[i + 1];
				qr[col][top[col]] = pl;
			}
		}
	}
	writeln(f[n]);
	return 0;
}