【UOJ311】【UNR #2】积劳成疾

最新推荐文章于 2020-06-09 13:34:00 发布

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本文介绍了一种基于笛卡尔树的动态规划算法，用于解决区间内所有数的最大值小于等于某一阈值的问题。通过枚举区间最大值首次出现的位置，并预处理权重的幂次方结果，最终实现O(N^3)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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【思路要点】

笛卡尔树DP，记\(F_{i,j}\)表示长度为\(i\)的区间中所有数的最大值小于等于\(j\)，所有方案的贡献之和。
考虑枚举区间最大值第一次出现的位置，则有：\(F_{i,j}=F_{i,j-1}+\sum_{pos=1}^{i}w_j^{min(pos,i-k+1)-max(1,pos-k+1)+1}*F_{pos-1,j-1}*F_{i-pos,j}\)。
预处理\(w_{i}\)乘幂的结果，时间复杂度\(O(N^3)\)。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 505;
const int P = 998244353; 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int n, k, w[MAXN];
long long dp[MAXN][MAXN];
long long power[MAXN][MAXN];
int main() {
	read(n), read(k);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		read(w[i]);
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		dp[0][i] = 1;
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			dp[j][i] = dp[j - 1][i] * i % P;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		power[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			power[i][j] = power[i][j - 1] * w[i] % P;
	}
	for (int i = k; i <= n; i++)
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		long long ans = dp[i][j - 1];
		for (int pos = 1; pos <= i; pos++) {
			int l = max(1, pos - k + 1);
			int r = min(pos, i - k + 1);
			ans += power[j][r - l + 1] * dp[pos - 1][j - 1] % P * dp[i - pos][j] % P;
		}
		dp[i][j] = ans % P;
	}
	writeln(dp[n][n]);
	return 0;
}