[HDU2588]GCD 欧拉函数

题目链接：Hdu2588

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概述

题目大意如下。

给定两个正整数$n$和$m$，（$2\leq n \leq1000000000，1\leq m\leq n$），问有多少个$x$满足$1\leq x \leq n\ $且 $gcd(n,x)\geq m$。题目有多组数据。

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题解

将题目待求的答案设为Ans，则：

$$Ans=\sum_{i=1}^n[gcd(n,i)\geq m].$$

我们发现，上式能产生贡献的$i$均大于$m$，能产生贡献的$gcd(n,i)$均为n的约数。

所以我们可以只枚举$n$大于等于m的约数d，再判断1~n中有多少个数与$n$的最大公约数为$d$。

即：

$$Ans = \sum_{m\leq d\leq n,\ d|n}\sum_{i=1}^n\ [gcd(n,i)=d].$$

这时我们发现，中括号里的表达式值为1时，$i$一定是$d$的倍数，所以我们进一步转化：

$$\sum_{m\leq d\leq n,\ d|n}\sum_{i=1}^n\ [gcd(n,i)=d]=\ \sum_{m\leq d\leq n,\ d|n}\sum_{i=1}^n[gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})=1]\times [d|i].$$

由于$i$一定是$d$的倍数，所以$\frac{i}{d}$的取值范围是1~$\frac{n}{d}$，所以上式中$\sum_{i=1}^n[gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})=1]\times [d|i]\ $实际上就是在统计1~$\frac{n}{d}$中与$\frac{n}{d}$互质的数的个数，其实就是$\varphi(\frac{n}{d}).$

至此，我们将式子转化成：

$$\sum_{m\leq d\leq n,\ d|n}\sum_{i=1}^n[gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})=1]\times [d|i]=\sum_{m\leq d\leq n,\ d|n} \varphi(\frac{n}{d}).$$

只需要$O(\sqrt n)$枚举满足条件的约数d，再$O(\sqrt{\sqrt n})$计算$\varphi(\frac{n}{d})$即可，总复杂度$O(\sqrt n·\sqrt{\sqrt n}).$

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代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define For(i,j,k) for(register ll i=j; i<=(ll)k; ++i)
#define Forr(i,j,k) for(reggister ll i=j; i>=(ll)k; --i)
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

ll T, n, m, phi, Ans;

inline ll get_phi(ll x){
    ll back = x;
    for(register ll i=2; i*i <= x; ++i)
        if(x%i == 0){
            back = back/i*(i-1);
            while(x%i == 0)
                x /= i;
        }
    if(x != 1)
        back = back/x*(x-1);

    return back;
}//质因数分解求欧拉函数。 

int main(){
    scanf("%lld", &T);
    while(T --){
        scanf("%lld%lld", &n, &m);

        Ans = 0;
        for(ll di=1; di*di<=n; ++di)
            if(n%di == 0){//枚举约数n/d。 
                ll d = n/di; //计算d。 

                if(d < m)   break;//考虑到我们得到的d是单调递减的，假如当前d不满足条件，直接退出。 

                phi = get_phi(di);
                Ans += phi;//计算答案 

                if(d*d == n)    continue;//特判d为根号n的情况。 

                if(di >= m){
                    phi = get_phi(d);
                    Ans += phi;//假如n/d也满足条件，计算答案。 
                }
            }

        printf("%lld\n", Ans);
    }
    return 0;
}

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小结

本题重点在于gcd和欧拉函数之间的转化，将枚举$gcd(n,i)=d\ $转变成枚举与$\frac{n}{d}$互质的数是关键，偷换概念也是很实用的方法。

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$\mathscr ——wrote\ by\ miraclejzd$