（快速幂） luogu P3197 [HNOI2008]越狱

快速幂解决越狱状态计数

最新推荐文章于 2024-10-07 21:24:40 发布

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分类专栏：数论文章标签：数论快速幂 luoguP1397 NOIP 信息学竞赛

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本文介绍了一种利用快速幂算法解决越狱状态计数问题的方法。在一个连续编号的监狱中，每个房间关押的犯人可能信仰M种宗教之一，目标是计算在相邻房间犯人宗教相同即可能发生越狱的情况下，共有多少种可能发生越狱的状态。通过计算总的方案数和不可能发生越狱的方案数，相减得到可能越狱的状态数。

若没了解过快速幂，请移至第数论第一篇题解快速幂模板

题目描述
监狱有连续编号为 1…N1…N 的 N 个房间，每个房间关押一个犯人，有 M 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

输入输出格式
输入格式：
输入两个整数 M,N
输出格式：
可能越狱的状态数，模 100003 取余

直接计算可能越狱的情况数很困难，所以我们转换思路，先求出所有的情况，再求出不可能的情况，相减即是可能的情况。。

有n个监狱，m种选择，总方案数便是m^{n，第一间监狱有m种方案，第二件因为不能和第一间一样则第二间的方案数为m-1，第三件不能和第二间一样，则也有m-1种，以此类推，故不可能的情况数为m(m-1)}(n-1);

故答案为m^n-m(m-1)(n-1);

该快速幂上场表演了！！

代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#define LL long long
#include<algorithm>
using namespace std;
LL n,m,mod=100003;
LL quickPow(LL a,LL b){
	LL sum=1;
	while(b){
		if(b&1) sum=sum*a%mod;
		b>>=1;
		a=a*a%mod;
	}
	return sum;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&m,&n);
	LL ans1=quickPow(m,n),ans2=(m%mod*quickPow(m-1,n-1))%mod;
	LL ans=ans1-ans2;
	if(ans<0) ans+=mod;
	printf("%lld\n",ans%mod);
	return 0;
}