某 SCOI 模拟赛 T1 集合划分（divide）【生成函数 NTT 分治】

题意

有长为 $2n$ 的序列 $A,B$，求有多少个单调不减的序列 $C$，要求 $C$ 的每一位均为 $A$ 或 $B$ 中对应位置上的数，且恰有 $n$ 个数来自 $A$。$n\le 5\times 10^4$。3s。

题解

设 $f[i][j=0/1][k]$ 表示 DP 确定了前 $i$ 个数，第 $i$ 个数是 $A_i/B_i$ ，已经有 $k$ 个数来自 $A$ 的方案数。直接 DP 是 $O(n^2)$ 的。

考虑把 $k$ 这一维写成形式幂级数的形式，则由 $f[i]$ 转移到 $f[i+1]$ 的过程可以看作乘上一个矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}0/x& & 0/x\\ 0/1& & 0/1\end{array}\right]$，具体是 $0$ 还是 $x$（1）取决于