[ZJOI2014]力 题解

本文介绍了一种利用快速傅立叶变换(FFT)解决特定数学问题的方法,该问题涉及计算序列的特殊求和形式。通过将序列转换和求和问题转化为FFT的卷积操作,提供了一个高效且新颖的解决方案。

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题意:给出 n n n个数 q i q_i qi,定义 F j = ∑ i &lt; j q i q j ( i − j ) 2 − ∑ i &gt; j q i q j ( i − j ) 2 F_j=\sum\limits_{i&lt;j}\frac{q_iq_j}{(i-j)^2}-\sum\limits_{i&gt;j}\frac{q_iq_j}{(i-j)^2} Fj=i<j(ij)2qiqji>j(ij)2qiqj,令 E i = F i q i E_i=\frac{F_i}{q_i} Ei=qiFi,求 E i E_i Ei

E i = ∑ j = 1 i − 1 q j ( i − j ) 2 − ∑ j = i + 1 n q j ( i − j ) 2 E_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}\frac{q_j}{(i-j)^2}-\sum\limits_{j=i+1}^n\frac{q_j}{(i-j)^2} Ei=j=1i1(ij)2qjj=i+1n(ij)2qj
A i = ∑ j = 1 i − 1 q j ( i − j ) 2 , B i = ∑ j = i + 1 n q j ( i − j ) 2 A_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}\frac{q_j}{(i-j)^2},B_i=\sum\limits_{j=i+1}^n\frac{q_j}{(i-j)^2} Ai=j=1i1(ij)2qj,Bi=j=i+1n(ij)2qj,分开求
f i = 1 i 2 f_i=\frac{1}{i^2} fi=i21,并规定 f 0 = 0 f_0=0 f0=0,那么 A i = ∑ j + k = i q j f k A_i=\sum\limits_{j+k=i}q_jf_k Ai=j+k=iqjfk,FFT求卷积即可
如果设 p i = q n − i p_i=q_{n-i} pi=qni即把 q q q翻转,那么
B i = ∑ j = 1 n − i q j + i j 2 = ∑ j = 1 n − i p n − i − j j 2 = ∑ j + k = n − i p j f k B_i=\sum\limits_{j=1}^{n-i}\frac{q_{j+i}}{j^2}=\sum\limits_{j=1}^{n-i}\frac{p_{n-i-j}}{j^2}=\sum\limits_{j+k=n-i}p_jf_k Bi=j=1nij2qj+i=j=1nij2pnij=j+k=nipjfk,FFT求卷积即可

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

const int maxn = 1e5 + 207;
const double pi = acos(-1.0);

struct Complex {
    double a, b;
    Complex(double x, double y) : a(x), b(y) {}
    Complex() : Complex(0.0, 0.0) {}
};
inline Complex operator+(const Complex &lhs, const Complex &rhs) {
    return Complex(lhs.a + rhs.a, lhs.b + rhs.b);
}
inline Complex operator-(const Complex &lhs, const Complex &rhs) {
    return Complex(lhs.a - rhs.a, lhs.b - rhs.b);
}
inline Complex operator*(const Complex &lhs, const Complex &rhs) {
    return Complex(lhs.a * rhs.a - lhs.b * rhs.b, lhs.a * rhs.b + lhs.b * rhs.a);
}

int r[maxn << 2], lim, l, n;
Complex a[maxn << 2], b[maxn << 2], c[maxn << 2];

inline void fft(Complex *A, int tp) {
    for (int i = 0; i < lim; ++i)
        if (i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]);
    for (int mid = 1; mid < lim; mid <<= 1) {
        Complex wn = Complex(cos(pi / mid), tp * sin(pi / mid));
        for (int j = 0; j < lim; j += mid << 1) {
            Complex w = Complex(1, 0);
            for (int k = 0; k < mid; ++k, w = w * wn) {
                Complex x = A[j + k], y = w * A[j + k + mid];
                A[j + k] = x + y;
                A[j + k + mid] = x - y;
            }
        }
    }
    if (tp == -1) {
        for (int i = 0; i < lim; ++i)
            A[i] = Complex(A[i].a / lim, 0);
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%lf", &a[i].a);
        b[n - i].a = a[i].a;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        c[i].a = 1.0 / i / i;
    for (lim = 1; lim <= n << 1; lim <<= 1, ++l);
    for (int i = 0; i < lim; ++i)
        r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));
    fft(a, 1); fft(b, 1); fft(c, 1);
    for (int i = 0; i <= lim; ++i)
        a[i] = a[i] * c[i], b[i] = b[i] * c[i];
    fft(a, -1); fft(b, -1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%.5lf\n", a[i].a - b[n - i].a);
    return 0;
}
内容概要:本文系统介绍了算术优化算法(AOA)的基本原理、核心思想及Python实现方法,并通过图像分割的实际案例展示了其应用价值。AOA是一种基于种群的元启发式算法,其核心思想来源于四则运算,利用乘除运算进行全局勘探,加减运算进行局部开发,通过数学优化器加速函数(MOA)和数学优化概率(MOP)动态控制搜索过程,在全局探索与局部开发之间实现平衡。文章详细解析了算法的初始化、勘探与开发阶段的更新策略,并提供了完整的Python代码实现,结合Rastrigin函数进行测试验证。进一步地,以Flask框架搭建前后端分离系统,将AOA应用于图像分割任务,展示了其在实际工程中的可行性与高效性。最后,通过收敛速度、寻优精度等指标评估算法性能,并提出自适应参数调整、模型优化和并行计算等改进策略。; 适合人群:具备一定Python编程基础和优化算法基础知识的高校学生、科研人员及工程技术人员,尤其适合从事人工智能、图像处理、智能优化等领域的从业者;; 使用场景及目标:①理解元启发式算法的设计思想与实现机制;②掌握AOA在函数优化、图像分割等实际问题中的建模与求解方法;③学习如何将优化算法集成到Web系统中实现工程化应用;④为算法性能评估与改进提供实践参考; 阅读建议:建议读者结合代码逐行调试,深入理解算法流程中MOA与MOP的作用机制,尝试在不同测试函数上运行算法以观察性能差异,并可进一步扩展图像分割模块,引入更复杂的预处理或后处理技术以提升分割效果。
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