Tarjan算法——割点与割边

tarjan算法中的一些要素

dfn[i]代表时间戳，是访问该节点的时间。

low[i]代表追溯值。是该节点以及它的子树通过非搜索树边能追溯的dfn值最小的祖先的dfn值。

割点

割点的概念就是：在一张无向图中，去掉某一个点，这个图将会分裂成多个连通子图。

我们知道一个点不是割点，当前仅当这个点在至少一个简单环上。
我们还可以知道，不在搜索树上的边一定是一个点连到它的祖先的。而不是连到兄弟子树上去的。（如果连到兄弟子树上去了，那么肯定会dfs到这条边使它成为搜索树边）

如果一个点有一个儿子，该儿子为根的子树的能追溯到的祖先的dfn值如果大于等于这个点的dfn值，那么说明它是割点。
但是它如果是搜索树的根的话，还需要这样的条件：满足上述条件的儿子及子树有两个及以上。

所以一个点x是割点的充分必要条件就是它若不是搜索树的根，那么它存在一个儿子满足$low[y]>=dfn[x]$；若他是搜索树的根，那么它存在至少存在两个儿子满足上述条件。

code

namespace TARJAN{
    int dfn[maxn],low[maxn],cnt=0,root=0;
    bool cut[maxn];
    void tarjan(int x){
        dfn[x]=low[x]=++cnt;
        int flag=0;
        for(int i=head[x];i+1;i=a[i].next){
            int y=a[i].y;
            if(!dfn[y]){
                tarjan(y);
                low[x]=min(low[x],low[y]);
                if(low[y]>=dfn[x]){
                    flag++;
                    if(x!=root||flag>1)cut[x]=true;
                }
            }
            else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
        }
    }
}using namespace TARJAN;

for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            root=i,tarjan(i);

割边

仿照割点的概念。
如果在一张连通无向图中，如果一条边去掉之后，这张图不再连通，那么这条边是割边。
仿照割边的判定。
首先，割边一定是搜索树上的边。
如果一条搜索树上的边，连接着两个结点xy，且x是y的父亲，且满足$low[y]>dfn[x]$，那么就是割边了

code

namespace TARJAN{
    int dfn[maxn],low[maxn],cnt=0;
    bool bridge[maxm<<1];
    void tarjan(int x,int in_edge){
        dfn[x]=low[x]=++cnt;
        for(int i=head[x];i+1;i=a[i].next){
            int y=a[i].y;
            if(!dfn[y]){
                tarjan(y,i);
                low[x]=min(low[x],low[y]);
                if(low[y]>dfn[x])
                    bridge[i]=bridge[i^1]=true;
            }
            else{
                if(i!=(in_edge^1))
                    low[x]=min(low[x],dfn[y]);
            }
        }
    }
}using namespace TARJAN;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i]) 
            tarjan(i,-1);