HLOJ488 周伟壮压论文状压例题2

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状态压缩DP

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本文探讨了一个关于在限定大小的棋盘上放置棋子的问题，要求任意两棋子不得相邻。通过状态压缩的方法解决了该问题，并给出了详细的算法实现，包括预处理、状态转移和期望计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

题目描述
给出一个n*m的棋盘（n、m<=80,n ×m<=80）,要在棋盘上放k（k<=20）个棋子，使得任意两个棋子不相邻。每次试验随机分配一种方案，求第一次出现合法方案时试验的期望次数，答案用既约分数表示。（约分完毕的分数）
输入格式
一行，三个整数n,m,k
输出格式
一行n/m，表示最后的答案
样例数据
input
1 2 1
output
1/1

题解

这道题目的状态压缩好隐蔽。。。
我们先来观察数据范围。
$n*m<=80$ 是什么意思？代表 $n$ 和 $m$ 之间至少有一者。
那么说，我们只需要把较长者作为阶段划分依据，较短者作为状态压缩。一共有 $max(n,m)*2^{min(m,n)}$ 个状态。可以接受。

预处理

我们再来观察原题。
不能有两个相邻的1，那么说明一个状态i合法的充分必要条件是 $!i\$ & $(i<<1)and$ $\ \ \$ $!i\$ & $(i>>1)$
那么我们可以预处理出所有可能的状态放进集合s，顺便处理出这个合法状态的1的个数。

状态

我们设这个状态 $f[i][j][k]$ 代表第i行的状态是j，而且已经有k个棋子的方案数。

状态转移

不合法状态较多，而且较复杂，直接看代码吧。

算期望

这里的期望可以这样算（因为是等概率事件）
$\frac{总方案数}{合法方案数}$
总方案数是 $\frac{(n*m)!}{(n*m-k)!}$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    int num=0;
    char c=' ';
    bool flag=true;
    for(;c>'9'||c<'0';c=getchar())
    if(c=='-')
    flag=false;
    for(;c>='0'&&c<='9';num=num*10+c-48,c=getchar());
    return flag ? num : -num;
}
inline unsigned long long gcd(long long a,long long b){
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}
const int maxn=11;
int n,m,k;
int s[1<<maxn],num[1<<maxn],top=0;
//集合s以及当前数的二进制下1的个数
void yuchuli(){
    for(int i=0;i<1<<m;i++){
        int c=0;
        if(i&(i<<1)||i&(i>>1))continue;
        for(int j=0;j<m;j++)
            if(i>>j&1)c++;
        top++;
        num[top]=c;
        s[top]=i;
    }
}
unsigned long long f[80][100][80],ans=0;
//这里要注意****由于不合法状态较多，所以我们这里的f[i][j][k]中的j
//不是真正的状态，j代表的状态是s[j]
//也就是集合s中第j个状态
//节省一大半空间
void dp(){
    f[0][1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=top;j++)
            for(int t=0;t<=k;t++){
                if(t<num[j])continue;
                for(int l=1;l<=top;l++){
                    if(s[j]&s[l])continue;
                    f[i][j][t]+=f[i-1][l][t-num[j]];
                }
            }
    for(int i=1;i<=top;i++)
        ans+=f[n][i][k];
}
bool flag[30]={};
void work(){
    unsigned long long t=1,now;
    for(int i=m*n-k+1;i<=m*n;++i){
        t*=i;now=gcd(t,ans);
        t/=now;ans/=now;
        for(int j=2;j<=k;++j){
            if(flag[j])continue;
            if(t%j==0){
                t/=j;flag[j]=1;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=k;++i)
        if(!flag[i])ans*=i;
    now=gcd(t,ans);t/=now;ans/=now;
    printf("%lld/%lld",t,ans);
}

int main(){
    n=read();m=read();k=read();
    if(n<m)swap(n,m);
    yuchuli();
    dp();
    work();
    return 0;
}