区间DP之矩阵连乘

最新推荐文章于 2020-05-21 11:18:54 发布

原创

最新推荐文章于 2020-05-21 11:18:54 发布 · 385 阅读

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给定不超过100个矩阵，目标是求它们相乘的最小计算次数。矩阵相乘次数由矩阵的行和列决定。通过动态规划方法，使用状态转移方程f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]+a[i][k].x*a[i][k].y*a[k+1][j].y)求解，并更新矩阵的行和列信息。

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题目描述：

给定n个矩阵，求这n个矩阵相乘的最小计算次数

其中矩阵相乘的次数计算为：

A1*A2=A1的行*A1的列*A2的列（A1的列保证=A2的行）

输入格式：

第一行为矩阵个数n(n<=100)，以后第二行至n+1行为第i个矩阵的行与列

输出格式：

输出最小相乘次数

想法：

设f[i][j]为第i个矩阵乘到第j个矩阵的最小相乘次数

那么我们可以很简单的得到：f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j])(k∈[i,j])

那要怎么得到每一个f[i][k]和f[k+1][j]的值呢

开始的时候我的想法是将f数组定义为结构体，f[i][j].x为第i个矩阵乘到第j个矩阵结果的行，f[i][j].y为结果的列，最后用f[i][j].ans储存答案。

一秒钟后我就发现了这个想法非常捞，不仅麻烦而且是错的，会影响DP过程中每一步的结果

所以我们在读入的时候采用a[i][i].x和a[i][i].y来储存第i个矩阵的行和列，状态转移方程就写为：

f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]+a[i][k].x*a[i][k].y*a[k+1][j].y)

然后如果f[i][j]被更新了，就将a[i][j].x赋值为a[i][k].x，a[i][j].y赋值为a[k+1][j].y，这可以用一个简单的if语句做到

最后附上代码：

#include<bits/stdc++.h>//请勿ctrl+c
using namespace std;
int n;
struct ss{
	int xx;
	int yy;
}a[1010][1010];
int f[1010][1010];//f[i][j]表示第i个至第j个矩阵相乘的最小值 
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	memset(f,10,sizeof(f));//记得赋初值啊
	for (int i=1;i<=n