LeetCode_Q53_最大子序和

53. 最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶:
如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

阶梯思路

方法1：动态规划

• 设数组为 $a[k]$ , $0\le k\le n-1$,最大字段和 X 被定义为：x=max⁡{∑jk=ia[k]}0≤i≤j≤n−1x= \max \{ \sum_{j}^{k=i} a[k] \}_{0\leq i\leq j \leq n-1}x=max{∑jk=i​a[k]}0≤i≤j≤n−1​
• 这种两端都是变化的问题是很难优化的，最好可以让一端固定，这样就会大大简化分析难度。于是将j暂时从原式子中提取出来，将剩下的命名为b[j]。
• 设 b[j]=max{∑jk=ma[k]}0≤j≤n−1b[j] = max\{ \sum_{j}^{k=m}{a[k]} \}_{0\leq j\leq n-1}b[j]=max{∑jk=m​a[k]}0≤j≤n−1​ 则 x=max{b[j]}0≤j≤n−1x=max \{ b[j] \}_{0\leq j \leq n-1}x=max{b[j]}0≤j≤n−1​
• 则 $b[j]$ 就是 以 $a[i]$ 结尾的最大字段和，所以有:b[j]=max{b[j−1]+a[j],a[j]}b[j] = max\{ b[j-1]+a[j],a[j]\}b[j]=max{b[j−1]+a[j],a[j]}

Code(Java)

	class Solution {
		public int maxSubArray(int[] nums) {
			int[] dp = new int[nums.length];
			dp[0] = nums[0];
			int max = dp[0];
			for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
				dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
				if (dp[i] > max)
					max = dp[i];
			}
			return max;
		}
	}