整数划分问题之最大乘积

整数划分问题：寻找最大乘积

最新推荐文章于 2022-11-08 10:43:18 发布

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本文探讨了整数划分问题，特别是如何找到使乘积最大的划分方式。通过证明，指出对于大于等于4的正整数m，存在一个2的因子分解，使得乘积不小于m。进一步分析表明，数可以分解为2^k1 * 3^k2的形式，其中k1≤2。根据n对3的余数，提供了三种不同的分解策略：3的幂、2的平方乘以3的幂次减一、或3的幂次乘以2。

题目链接：

https://www.nowcoder.com/acm/contest/110/A

分析：

(1)对于任意大于等于4的正整数m, 存在一个划分m = m1+m2, 使 m1*m2 >= m证: 令m1 = int(m/2), 则 m1 >= 2 ， m2 = m-m1; 那么m2 > 2，并且 m2 >= m/2 >= m1;    m1*m2 >= 2*m2 >= m; 证毕;
该证明简单的来说就是：对于一个大于等于4的正整数m，存在一个2块划分的因子，这两个因子的乘积总是不小于原数m本身。
(2)由(1)知此数最终可以分解为 2^r * 3^s。现证明 r <= 2;
证：若r > 2, 则至少有3个因子为2, 而2*2*2 < 3*3;
所以可以将3个为2的因子,换为两个因子3；积更大；证毕。
综合(1)，(2)，则有：任何大于4的因子都可以有更好的分解, 而4可以分解为2*2。
所以：此数应该分解为 2^k1 * 3^k2。而且可以证明 k1>=0 并且 k1 <= 2，因此：
　　   A.当n = 3*r 时, 分解为 3^r
　　 B.当n = 3*r+1时, 分解为 3^(r-1)*2*2
   　　C.当n = 3*r+2时, 分解为 3^r*2

参考至他人博客：https://www.cnblogs.com/xiaoxian1369/archive/2011/09/12/2174212.html<