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文章目录整除性与最大公因数1 基本概念2 一些求最大公因数的方法3 欧几里得算法3.1 一个例子3.2 形式化地表示3.3 证明3.4 定理（欧几里得算法）4 算法实现整除性与最大公因数  参考资料：《数论概论》P19-P221 基本概念  设m,nm,nm,n是整数，m≠0m\ne 0m​=0。mmm整除nnn指：nnn是mmm的倍数，即存在整数kkk使得n=kmn=kmn=km。整除...

文章目录1 线性方程与最大公因数2 证明3 解的讨论4 线性方程定理5 参考资料1 线性方程与最大公因数  已知两个整数aaa与bbb，我们考察由ax+byax+byax+by得到的所有正整数，其中xxx与yyy可为任何整数。（x,yx,yx,y可取负值）。例如下表为a=42,b=30a=42,b=30a=42,b=30的情况下ax+byax+byax+by可取的一些值。我们来观察这个表格，首先我们会发现这个表格中的每一个数都能被666整除，原因也很显然，因为424242和303030都能被666整除

文章目录1 素数整除性质2 算术基本定理3 因数分解的方法4 参考资料1 素数整除性质  我们知道，素数ppp（p≥2p \ge 2p≥2）是正因数仅有111和ppp的数，不是素数的整数mmm（m≥2m\ge 2m≥2）叫做合数：素数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,⋯合数:4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,⋯素数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\cdots \\合数:4,6,8,9,10,12,14,15,16,18

文章目录1 同余式2 求解同余式3 求解形如ax≡c (mod m)ax\equiv c\ (mod\ m)ax≡c (mod m)的同余式4 线性同余式定理5 模ppp多项式根定理6 参考资料1 同余式  同余式是描述整除性质的简便方式。如果mmm整除a−ba-ba−b，我们就说aaa与bbb模mmm同余，记为：a≡b (mod m)a\equiv b\ (mod \ m)a≡b (mod m)例如:5∣(7−2

  取整数aaa，考虑它的幂a,a2,a3,⋯a,a^2,a^3,\cdotsa,a2,a3,⋯模mmm。在这些幂中是否存在什么模式呢？一般这种情况在数论中，我们都先考虑从素数模入手，因为这时很容易识别出模式。这种现象在数论中，尤其是在同余理论中很普遍。  那么我们对一些素数ppp列出整数a=0,1,2,⋯a=0,1,2,\cdotsa=0,1,2,⋯和一些幂模ppp，寻找模式，提出一些猜想。然后再进一步列出后续的素数来验证你的猜想。我们观察到：a2(mod 3),a4(mod 

文章目录1 欧拉公式1 欧拉公式  费马小定理指出，如果p∤ap\nmid ap∤a,则ap−1≡1  (mod p)a^{p-1}\equiv 1\ \ (mod\ p)ap−1≡1  (mod p)。如果ppp换成合数，那这个结论就不正确了，例如55≡5  (mod 5)5^5\equiv 5\ \ (mod\ 5)55≡5  (mod 5)。因此就有了一个问题，是否有依赖模mmm

文章目录1 素数的个数2 模444余333的素数3 算术级数的素数狄利克雷定理4 参考资料1 素数的个数  定理（无穷多素数定理）：存在无穷多个素数。  早在2000多年前，欧几里得就在他的《几何原本》中给出了这个优美的证明。  证明：假设已列出素数（有限）表，要说明如何找到不在表中的新素数。因为可以将这个新素数加入到表中，再重复这个过程，就表明必有无穷多个素数。  假设由素数表p1,p2,⋯ ,prp_1,p_2,\cdots,p_rp1​,p2​,⋯,pr​开始。我们将它们乘起来再加111，给

文章目录1 素数定理1 素数定理  我们已经知道有无穷多个素数，也知道有无穷多个合数。那到底哪个数多呢？我们可以通过计数函数来比较它们。  素数的计数函数被称为π(x)\pi(x)π(x)，这里的π\piπ是“prime”的缩写。...

文章目录1 计算幂模mmm2 逐次平方法3 算法实现4 参考资料1 计算幂模mmm  如何计算：5100 000 000 000 000 (mod 12 830 603)5^{100\ 000\ 000\ 000\ 000}\ (mod\ 12\ 830\ 603)5100 000 000 000 000 (mod 12 830 603)

文章目录三角平方数1 三角数和平方数2 分析推导3 收集数据三角平方数1 三角数和平方数  有些数是”有形“的，它们可以用图形来展示，三角数和平方数就是这样，如下图所示：因此我们有三角数和平方数的通项公式：三角数：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,⋯1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,\cdot...

文章目录佩尔方程1 定义2 佩尔方程的历史2.1 阿基米德牛群问题佩尔方程1 定义  在三角平方数中。我们找到了方程：x2−2y2=1x^2-2y^2=1x2−2y2=1正整数解的完美描述。其实这个方程就是佩尔方程的一个特例。  佩尔方程是具有形式：x2−Dy2=1x^2-Dy^2=1x2−Dy2=1的方程，其中DDD是一个固定的正整数并且不是完全平方数。2 佩尔方程的历史2.1 阿基米德牛群问题  ...