7-图6 旅游规划 (25 分)

7-图6 旅游规划 (25 分)

有了一张自驾旅游路线图，你会知道城市间的高速公路长度、以及该公路要收取的过路费。现在需要你写一个程序，帮助前来咨询的游客找一条出发地和目的地之间的最短路径。如果有若干条路径都是最短的，那么需要输出最便宜的一条路径。

输入格式:

输入说明：输入数据的第1行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0~(N−1)；M是高速公路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号。随后的M行中，每行给出一条高速公路的信息，分别是：城市1、城市2、高速公路长度、收费额，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证解的存在。

输出格式:

在一行里输出路径的长度和收费总额，数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

输入样例:

4 5 0 3
0 1 1 20
1 3 2 30
0 3 4 10
0 2 2 20
2 3 1 20

输出样例:

3 40

Note

1. 改进的dijkstra，当纳入新点使得集合外一点到源点长度变短，或新路径长度与原路径长度相等 && 费用变少 则该点在源点到集合外那点的最短路上。
2. 注意初始化

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 500
int main() {
	int cost[MAX], dist[MAX] = {MAX} , c[MAX][MAX], a[MAX][MAX];
    int num, arc, start, destination;
    int collected[MAX] = {0};
	int path[MAX] = {-1};
    cin >> num >> arc >> start >> destination;
	for(int i = 0; i < num; i++){   //初始化
		for(int j =0; j < num; j++){
			a[i][j] = c[i][j] = MAX;
		}
	}
    for(int i = 0; i < arc; i++){   //输入
        int aa, b, tempa, tempb;
        cin >> aa >> b >> tempa >> tempb;
        a[aa][b] = a[b][aa] = tempa;
        c[aa][b] = c[b][aa] = tempb;
    }
    for(int i = 0; i < num; i++){   //初始化
        if(i != start){
            dist[i] = a[start][i];
            cost[i] = c[start][i];
            if(dis[i] < MAX){
                path[i] = start;
            }
        }
    }
    collected[start] = 1;
    while(1){
        int min = MAX, ptr;
        for(int i = 0; i < num; i++){   //找临边中最小的
            if(!collected[i] && dist[i] < min){
                min = dist[i];
                ptr = i;
            }
        }
        if(min == MAX){                 //无法更新，退出
            break;
        }
        collected[ptr] = 1;
        for(int i = 0; i < num; i++) {  //如果收录ptr使start到i的距离变短，则start到i的最短路一定经过ptr
            if(!collected[i] && dist[ptr] + a[ptr][i] < dist[i] ){
                dist[i] = dist[ptr] + a[ptr][i];
                path[i] = ptr;
                cost[i] = cost[ptr] + c[ptr][i]; // ?
            }
            else if(!collected[i] && dist[ptr] + a[ptr][i] == dist[i] && cost[ptr] + c[ptr][i] < cost[i]){
                cost[i] = cost[ptr] + c[ptr][i];
                path[i] = ptr;
            }
        }
    }
    cout << dist[destination] <<  " "  << cost[destination];
    return 0;
    
}

Summary

1. 初始化的时候 dist[start的临界点] = 边的长度， visited[start] = 1, path[start的临界点] = start（dist[start]貌似不初始化也可以）
2. Dijkstra的本质就是如果收录v使得s到w的距离变短，则s到w的最短路一定经过v

类似问题

要求算出最短路径有多少条

解：

1. 设count数组计算最短路条数，初始化与s有临边的v count[v] = 1;
2. 如果把节点v纳入集合，使得start到w（v的临边）的距离变短 则 count[w] = count[v]
3. 如果把节点v纳入集合，使得过节点v到w的距离等于原集合到w的距离distance 则 count[w] += cout[v]
   例子：

A1003

要求边数最少的最短路（注： 先保证最短，再保证边数最少）

1. 设count数组计算走过的边数，初始化与s有临边的v count[v] = 1;
2. 如果把节点v纳入集合，使得start到w（v的临边）的距离变短 则 count[w] = count[v] + 1
3. 如果把节点v纳入集合，使得过节点v到w的距离等于原集合到w的距离distance 并且count[w] > cout[v] + 1 则 count[w] > cout[v] + 1