NC14301 K-th Number

题意

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在长度为$N$的数组A中，找出所有子区间中第$K$大的数放入数组B，求数组B中第$M$大的数

$1\le N\le 10^5$
$1\le K\le N$
$1\le A_i\le 10^9$

思路

一看这题，对于放入数组B的数有明确的规定，那很显然我们能简单的模拟来实现这个目的，但是这么干的话运算量绝对是爆炸多的，所以我们可以考虑二分+检验来找出解

二分这个步骤很简单就不说了，难点在检验

我们记数组B中第$M$大的数为$num$，那么数组B中大于$num$的数加上它自身就一共有$M$个。这$M$个数，对应了数组A中$M$个子区间里第$K$大的数。、
也就是说，数组A中，区间里第$K$大的数大于等于$num$的区间有$M$个。

那么我们在检验的时候只需要判断区间里第$K$大的数大于等于$num$的区间的个数与$M$的大小关系即可。
如果前者大于后者，说明我们下次二分可以把$num$取更大进行判断，反之取小。

那么我们如何计算区间里第$K$大的数大于等于$num$的区间的个数呢？可以用双指针
首先我们要保证，区间里至少有$K$个数大于等于$num$

例如:
对于数组：1 1 1 5 3 4 2 2 2
假设我们此时取的$num=3$、$k=3$，那么我们要从左往右依次取数，直到区间里有三个数大于等于3，也就是右指针指到第6个数的时候，此时左指针仍在第一个数。
对于左指针在1、右指针在6的情况，我们可以继续从右指针的右边取0、1、2、3个数，组成4个子区间。
然后左指针右移到2，右指针在6，又可以组成4个子区间，这种情况一直持续到左指针指到3（区间里大于等于$num$的数不足$K$）为止。

有了这样的二分和检验的思路，就可以快乐的打代码了

*小坑：数组A的子区间有很多个，M和judge函数中的ans会爆int
*补充：对于右指针右侧的数，我们不需要关心他们的大小，如果小了，那么3仍然是第$K$大的数没有问题，如果大了，那在数组B中会多出一个比$num$大的数，由此为我们下一步二分提供依据，让下一次二分的数更大。（个人感觉这部分很难想，我想了好久才想明白）

代码

#include <iostream>

using namespace std;
int cases;  //数据的组数
int N;  //数组A的长度
int K;  //拿数组A的每个子串中第K大的数放入数组B
long long M;  //输出数组B中第M大的数
int A[100005];

/**
 * @brief 判断num是否为数组B中第M大的数
 * @param num int
 * @return bool
 */
bool judge(int num) {
    int left = 1, right = 1;
    int count = 0;    //记录区间里大于等于num的数
    long long ans = 0;  //第K大数大于等于num的子区间的个数
    //遍历整个数组，计算ans
    while (right <= N) {
        if (A[right] >= num)++count;
        if (count == K) {
            ans += N - right + 1; //下面的while少加了一次，加回来
            while (A[left] < num) {
                ans += N - right + 1;
                ++left;
            }
            //丢掉最左边大于等于num的数
            --count;
            ++left;
        }
        ++right;
    }
    if (ans >= M)return true;
    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    cin >> cases;
    while (cases-- > 0) {
        cin >> N >> K >> M;
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            cin >> A[i];
        }
        //二分检验找出数组B中第M大的数
        int left = 1, right = 1000000000, mid;
        while (left <= right) {
            mid = (left + right) >> 1;
            if (judge(mid))left = mid + 1;
            else right = mid - 1;
        }
        cout << left - 1 << endl;
    }
}