剑指Offer 14.剪绳子（Python）

题目描述

给你一根长度为你的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数），n > 1 且 m > 1），每段绳子的长度记为k[0]， k[1]，…，k[m]。请问k[0] x k[1] x … x k[m]可能的最大乘积是多少？
示例：

当绳子长度是8时，我们把它剪成长度为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

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动态规划

寻找规律$f(n)=max(f(i)\ast f(n-i))$：

长度n = 0时，最大乘积也为0；
长度n = 1时，因为必需剪一刀，所以最大乘积也为0；
长度n = 2时，最大乘积为1x1=1;
长度n = 3时，最大乘积为1x2=2；
以上几种情况比较特殊，需要单独讨论。

长度n = 4时，有两种可能1x3=3和2x2=4，最大乘积为4；
长度n = 5时，有三种可能1x4=4、2x3等于6，最大乘积为6。

到这里，我们似乎可以总结出一个规律来解决问题：
从长度4开始，我们都可以将绳子看作剪成两段，也就是将当前问题变成两个子问题；
然后这两个子问题，我们在前面必然已经讨论过了。
例如，长度等于5时，可以看作1和4的子问题，1的最优解是1（这里不需要剪），4的最优解是4，因此1x4=4；
同理也可以看作2和3的子问题，2的最优解是2（同样不需要剪），3的最优解是3（也不需要剪），所以2x3=6；
我们只需要找出所有组合中最大的一个即可。

PS：1、2、3作为子问题时不需要剪，这也是我们为什么特殊讨论的原因。

算法时间复杂度$O(n^2)$，空间复杂度$O(n)$。

def cutting(length):
    if length < 2: return 0
    if length == 2: return 1
    if length == 3: return 2
    
    products = [0,1,2,3]
    for i in range(4, length + 1):
        max_product = 0
        # i必然由i-1, i-2 ,i-3
        for j in range(i-3, i):
            product = products[j] * products[i-j]
            if product > max_product:
                max_product = product
        products.append(max_product)
    
    return products[length]

if __name__ == "__main__":
    print(cutting(8))

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贪婪算法

上题的时间和空间复杂度还是过大了，能不能再有一种方法简化呢？
其实我们可以按以下策略剪绳子：当 n >= 5时，尽可能多地剪长度为3的绳子。

当 n >= 5时，我们可证 3(n-3)>=n 且 3(n-3) >= 2(n-2)，因此应该竟可能多剪长度为3的绳子。

PS：
我们的讨论范围始终在1，2，3，因为某种意义上，这3个数是这个问题的“基数”；
4可以看作的2和2或1和3的组合，比4大的数同理，因此不要问为什么不尽量剪成长度为4。

时间和空间复杂度都为$O(1)$。

def cutting(length):
    if length < 2: return 0
    if length == 2: return 1
    if length == 3: return 2
    
    # 剪成3的段数
    times_of_3 = length // 3
    
    # 2x2比1x3更好
    if length % 3 == 1:
        times_of_3 -= 1
    
    #剪成2的段数
    times_of_2 = (length - 3*times_of_3)//2

    return (3**times_of_3) * (2**times_of_2)

if __name__ == "__main__":
    print(cutting(5))

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2019.8.20 动态规划的范围从(1,i)为(i-3,i)