最小割网络流

本文介绍了一个基于Dinic算法实现的最大流问题解决方案,并通过具体代码展示了如何构造网络图、添加边及其容量限制,最终计算从源点到汇点的最大流量。适用于解决涉及网络流的计算机科学问题。

题目:https://nanti.jisuanke.com/t/26172

真的很明显的模板题阿阿。可惜我自己平时的问题。居然不知道这个问题用什么模板。透李奶奶阿。

#include <stdio.h>  
#include <string.h>  
#include <iostream>  
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <map> 
#include <queue>
#include <vector> 
#define PI 3.1415926
#define INF 1e18
#define inf 1e9
#define min(a,b) a<b?a:b
#define max(a,b) a>b?a:b
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define IOS ios_base::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std ;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int _max = 50000;
struct Dinic                  
{                   
       struct node                
       {                 
             int c,u,v,next;                
       }edge[_max];                
       int ne,head[_max];                
       int cur[_max], ps[_max], dep[_max];              
       void initial()                
       {                
             ne=2;                
             memset(head,0,sizeof(head));                 
       }                
       void addedge(int u, int v,int c)                
       {                 
             edge[ne].u=u,edge[ne].v=v,edge[ne].c=c,edge[ne].next=head[u];                
             head[u]=ne++;                
             edge[ne].u=v,edge[ne].v=u,edge[ne].c=0,edge[ne].next=head[v];                
             head[v]=ne++;                
       }                
       ll MaxFlow(int s,int t)                
       {                                     
             ll tr, res = 0;                
             int i,j,k,f,r,top;                
             while(1)                
             {                
                    memset(dep, -1, sizeof(dep));                
                    for(f=dep[ps[0]=s]=0,r=1;f!= r;)                
                       for(i=ps[f++],j=head[i];j;j=edge[j].next)                
                         if(edge[j].c&&dep[k=edge[j].v]==-1)                
                         {                
                               dep[k]=dep[i]+1;                
                               ps[r++]=k;                
                               if(k == t){  f=r; break;  }                
                         }                
                    if(dep[t]==-1) break;                
                    memcpy(cur,head,sizeof(cur));                
                    i=s,top=0;                
                    while(1)                
                    {                
                         if(i==t)                
                         {                
                               for(tr=inf,k=0;k<top;k++)                
                                  if(edge[ps[k]].c<tr)                
                                     tr=edge[ps[f=k]].c;                
                               for(k=0;k<top;k++)                
                               {                
                                     edge[ps[k]].c-=tr;                
                                     edge[ps[k]^1].c+=tr;                
                               }                
                               i=edge[ps[top=f]].u;                
                               res+= tr;                
                         }                
                         for(j=cur[i];cur[i];j=cur[i]=edge[cur[i]].next)                 
                             if(edge[j].c && dep[i]+1==dep[edge[j].v]) break;                 
                         if(cur[i])  ps[top++]=cur[i],i=edge[cur[i]].v;                 
                         else                
                         {                
                                 if(!top) break;                
                                 dep[i]=-1;                
                                 i=edge[ps[--top]].u;                
                         }                
                   }                
             }                
             return res;                
      }           
}T;  
int main(){
    IOS;
    int t;
    cin>>t;
    int n,m,n1,n2,val;
    while(t--){
        cin>>n>>m;
        int src=n+m+1,des=n+m+2;
        ll sum = 0;
        T.initial();
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++){//chanping
            cin>>val;
            sum += val;
            T.addedge(src,i,val);
        }
        for(int i = 1 ; i <= m ; i++){//kuang
            cin>>val;
            T.addedge(i+n,des,val);
        }
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
            cin>>n1>>n2;
            for(int j = 1 ; j <= n1 ; j++){
                cin>>val;
                T.addedge(i,val+n,inf);
            }
            for(int j = 1 ; j <= n2 ; j++){
                cin>>val;
                T.addedge(i,val,inf);
            }
        } 
        cout<<sum-T.MaxFlow(src,des)<<endl;
    }
    return 0;
} 
<think>好的,用户想了解网络流中的最小割概念、算法、实现和应用,以及最大流最小割定理和图论相关内容。首先,我需要整理这些知识点,确保覆盖所有用户提到的部分。 首先,最小割的定义。根据引用[2],最大流最小割定理指出,最大流等于最小割的容量。最小割是断开源点和汇点所需移除的边的最小容量和。这里需要解释清楚什么是割,简单割和非简单割的区别,引用[4]提到反证法证明最小割是简单割,这部分可能需要详细说明。 接下来是算法部分。用户提到Ford-Fulkerson和Edmonds-Karp算法,引用[3]提到Java中的实现,所以需要介绍这些算法的基本思想,比如Ford-Fulkerson通过不断寻找增广路径,而Edmonds-Karp使用BFS来寻找最短路径,提高效率。此外,可能还需要提到其他算法如Dinic算法,但用户没有引用相关内容,所以可能简要带过。 实现方面,需要给出伪代码或代码示例,但用户提供的引用中没有具体的代码,引用[3]提到Java实现,但示例可能需要自己构造,或者建议用户参考相关资源。应用部分,可以包括网络流量优化、图像分割、社交网络分析等,需要结合引用中的例子,比如引用[3]中的流量分配问题。 最大流最小割定理是核心,引用[1]和[2]都提到定理内容,需要详细阐述定理的含义和证明思路,可能结合引用[4]的反证法来说明最小割的结构。此外,图论中的其他相关概念可能需要简要关联,比如网络流模型中的顶点和边,容量限制等。 用户的问题还包括如何实现和应用,所以需要分步骤解释算法实现的关键点,比如残留网络、增广路径的寻找、容量更新等。应用部分需要举实际例子,比如交通网络中的瓶颈识别,或者电力系统的稳定性分析。 最后,生成相关问题时要覆盖定理、算法比较、实际应用、复杂度分析等,确保用户能进一步探索。确保所有引用都正确标注,比如引用[4]用于说明最小割的结构,引用[3]用于算法实现等。 需要检查是否有遗漏的部分,比如最小割的求解方法是否除了最大流之外还有其他途径,但根据定理,通常是通过最大流来求,所以重点在Ford-Fulkerson等方法。另外,注意数学表达式的格式,行内公式用$...$,独立公式用$$...$$,并正确使用LaTeX语法。例如,定义最大流的值$f_{\text{max}}$,最小割容量$C_{\text{min}}$,根据定理$f_{\text{max}} = C_{\text{min}}$。 可能需要绘制网络流图的例子,但文本描述中无法插入图片,所以用文字描述一个简单网络,比如源点s,汇点t,中间几个节点和边,说明如何找到最小割。例如,s到a有容量3,a到t有容量2,s到b有容量2,b到t有容量3,此时最小割可能是切断s到a和s到b,总容量5,或者a到t和b到t,总容量5,或者混合情况,需要具体分析。 总结回答的结构:先介绍最小割概念,定理,然后算法步骤,实现方法,应用场景,最后相关问题和引用。确保每个部分都有引用支持,并正确标注来源。注意避免使用Markdown格式,使用中文,保持口语化,但符合系统级指令的要求。</think>### 网络流最小割详解 #### 一、基本概念 1. **最小割定义** 最小割网络流中一个边的集合,移除这些边后源点($S$)与汇点($T$)完全断开,且这些边的容量之和最小。例如,若一个网络的最小割容量为$5$,则断开源汇点至少需要移除容量总和为$5$的边[^2]。 2. **最大流最小割定理** 定理核心为:**最大流的值等于最小割的容量**。即通过求解最大流问题(如Ford-Fulkerson算法),可直接得到最小割的解[^1]。数学表达为: $$f_{\text{max}} = C_{\text{min}}$$ 其中$f_{\text{max}}$为最大流,$C_{\text{min}}$为最小割容量。 3. **简单割与非简单割** 最小割一定是**简单割**,即割仅包含从源点侧到汇点侧的边。若存在其他边(如反向边),其容量为无穷大,与最小割定义矛盾[^4]。 --- #### 二、算法与实现 1. **核心算法** - **Ford-Fulkerson算法**:通过不断寻找增广路径(从$S$到$T$的路径)并更新残留网络,直到无法找到增广路径为止。 - **Edmonds-Karp算法**:改进版,使用BFS寻找最短增广路径,时间复杂度为$O(VE^2)$,更高效[^3]。 2. **实现步骤** ```python # 伪代码示例(Edmonds-Karp) def edmonds_karp(graph, source, sink): max_flow = 0 while True: # BFS寻找增广路径 path = bfs_shortest_path(graph, source, sink) if not path: break # 计算路径最小容量 min_cap = min(graph[u][v]['cap'] for u, v in path) # 更新残留网络 for u, v in path: graph[u][v]['cap'] -= min_cap graph[v][u]['cap'] += min_cap # 反向边 max_flow += min_cap return max_flow ``` --- #### 三、应用场景 1. **网络流量优化** 如通信网络带宽分配、交通路网车流调度等,通过最小割识别瓶颈。 2. **图像分割** 将图像像素建模为图节点,通过最小割划分前景与背景(如GraphCut算法)。 3. **社交网络分析** 识别社区结构或关键连接,最小割对应社区间最脆弱的部分。 --- #### 四、关键问题解答 **如何通过最大流求最小割?** 1. 使用Ford-Fulkerson等算法计算最大流$f_{\text{max}}$。 2. 在残留网络中,从源点$S$出发,通过BFS标记所有可达节点,形成集合$A$。 3. 所有从$A$到$V-A$的边即为最小割。 ---
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