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单项式（monomial）：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式。（分母含有字母的式子不属于单项式），例如：a,−5,x,2xya, -5, x, 2xya,−5,x,2xy单项式中所有字母的的指数的和叫做这个单项式的次数（degree）多项式: 是由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。例如：x2−3x+4x^2-3x+4x2−3x+4....

文章目录1. 数论2. 拓扑学3. 射影几何4. 常微分方程5. 非欧几何6. 计算数学7. 运筹学8. 分形几何9. 突变理论10. 模糊数学1. 数论2. 拓扑学3. 射影几何4. 常微分方程5. 非欧几何6. 计算数学7. 运筹学8. 分形几何9. 突变理论10. 模糊数学...

参考定义(Definition): 对于一个数学概念精准明确的描述；通过给出一个单词的所有真实的性质来赋予这个单词意义。公理/假定(Axiom/postulate): 不证自明的声明；它是所有定理(Theorem)证明的基石。定理(Theorem)：经过严格的数学推导的声明；在数学论文中，通常指最重要的结果。引理(Lemma)：为了帮助证明某一个定理(Theorem)的小定理；偶尔也能单独存在。推论(Corollary)：由已有的定理(Theorem)证明出来的结果；经常说某定

线性映射： Let XXX and YYY be linear spaces over the same field F\mathbb{F}F. A linear operator from XXX into YYY is a mapping T:X→YT: X \rightarrow YT:X→Y such thatT(αx1+βx2)=αTx1+βTx2T\left(\alpha x_{1}+\beta x_{2}\right)=\alpha T x_{1}+\beta T x_{2}T(αx1​.

希尔伯特空间： Let (X,⟨⋅,⋅⟩)(X,\langle\cdot, \cdot\rangle)(X,⟨⋅,⋅⟩) be an inner product space. If XXX is complete with respect to the norm induced by the inner product ⟨⋅,⋅⟩,\langle\cdot, \cdot\rangle,⟨⋅,⋅⟩, then we say that XXX is a Hilbert space.<对比> .

赋范线性空间定义的概念开集： A subset SSS of a normed linear space (X,∥⋅∥)(X,\|\cdot\|)(X,∥⋅∥) is open if for each s∈Ss \in Ss∈S there is an ϵ>0\epsilon>0ϵ>0 such that B(s,ϵ)⊂SB(s, \epsilon) \subset SB(s,ϵ)⊂S闭集：A subset FFF of a normed linear space (X,∥⋅∥)(X

文章目录线性空间的10条特性线性空间的子集子空间和凸集商空间线性空间的10条特性[1]x+y∈X[1] x+y \in X[1]x+y∈X whenever x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X[2] x+y=y+xx+y=y+xx+y=y+x for all x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X[3] There exists a unique element in X,X,X, denoted by 0 , such that x+0=0+x=xx+0=0+x=xx+0=0+x=x fo

文章目录PrefaceFUNCTIONAL ANALYSIS NOTES2 Normed Linear Spaces2.1 DefinitionExamplesNotationEquivalent NormsDefinitonexample2.2 Open and Closed SetsDefinitionTheorem2.3 Quotient Norm and Quotient Map2.4 Completeness of Normed Linear SpacesDefinitionconverge of

文章目录Preface1 Linear Spaces1.1 linear spaceExamples2 Subsets of a linear space2.1 Notation3 Subspaces and Convex Sets3.1 Subspaces3.2 linear hullpropositionOther Definition3.3 Convex SetsConvex hullpropositionRemark4 Quotient Spaceequivalence relationDefini

线性空间中的商空间(Quotient Space)定义一个等价关系假设M是线性空间X的线性子空间：对于所以x，y属于X，我们定义：x≡y( mod M)⟺x−y∈Mx \equiv y(\bmod M) \Longleftrightarrow x-y \in Mx≡y(modM)⟺x−y∈M上面这个是X上定义的一个等价关系：x∼yx \sim y \quadx∼y if and only if (x−y)∈Z\quad(x-y) \in Z(x−y)∈Z定义商空间对于x，我们定义一个记号：[

上确界sup、下确界inf和最小值min、最大值max的区别（图源于百度知道）ps：需要注意函数的最值定义， 如函数的最小值是指函数在定义域中取到的最小值， 如上面的例子，x ∈ ( 1 , 2 ) x\in{(1, 2)}x∈(1,2)，所以1和2都不是函数的最小值， 因为这两个端点都不在定义域内， 但是它们分别是函数的下、上确界 最值定义（百度百科） 另一篇博主的博客， 机器学习中经常出现的inf和sup 总结： 一个函数如果有最大、小值， 则最大、小值就是该函数的上、下确界， 如果没有最大、小.

Theorem：定理。是文章中重要的数学化的论述，一般有严格的数学证明。Proposition：可以翻译为命题，经过证明且interesting，但没有Theorem重要，比较常用。Lemma：一种比较小的定理，通常lemma的提出是为了来逐步辅助证明Theorem，有时候可以将Theorem拆分成多个小的Lemma来逐步证明，以使得证明的思路更加清晰。很少情况下Lemma会以其自身的形式存在。Corollary：推论，由Theorem推出来的结论，通常我们会直接说this ..

先来看下整型组合优化问题，对于（图一）中的寻找最小点（红点）问题，用求导的方法不可取，用排序的方法就是NP问题，无法在多项式时间内找到最优解。（图一）遇到这种情况，可以采用松弛的方式来处理，首先把问题定义域X的范围从整型松弛到实值范围内，而且目标函数在整型定义域上小于或者等于原目标函数，如图二所示：（图二）此时可以用分析的方法(比如梯度下降等)来处理，但是仍然有个问题就是有可能陷入局部最小，解决陷入局部最小的办法就是让目标函数在定义域上是凸的，这样就不会陷入局部最小了（感..

拓扑：将集合X中子集组成子集族拓扑空间：定义了拓扑的集合X豪斯多夫空间：拓扑空间X中任意两个不同的点可以由邻域分离由邻域分离：在拓扑空间X，如果存在元素x的邻域U和y的邻域V，使得U并V=空集度量空间：任意元素之间的距离可定义的集合开集：A是度量空间X的一个子集，若A中的每一个点的邻域都包含于A，则A是X的开集（拓扑学）。波莱尔集：在一个拓扑空间中，从所有开集出发，通过取补集，可数并，可数交等运算，构造出的所有集合。幂集：由集合A的所有子集组成的集合σ代数\sigma代数σ代数：幂集的一个.

转载：向量叉乘方向判断a x b两个向量叉乘，可以获得垂直a，b的一个向量，但这个向量有两个方向，应该如何判断？通过将a的头与a的尾相接，并检查a到b是顺时针还是逆时针，能够确定a x b的方向。在左手坐标系中，如果a和b呈顺时针，那么a x b指向您。如果a x b呈逆时针，那么a x b远离您。而在右手坐标系中，如果a x b 呈顺时针方向，那么a x b远离您，如果a x b呈逆时针方向，那么a x b指向您。下图分别表示了顺时针方向和逆时针方向：...

方差度量单个随机变量的离散程度协方差度量两个随机变量的相似程度则对于d个随机xk,k=1,2,...,dx_k,k=1,2,...,dxk​,k=1,2,...,d，相同随机变量的方差：σ(xk,xk)=1n−1∑i=1n(xki−xˉk)2,k=1,2,…,d\sigma\left(x_{k}, x_{k}\right)=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{k i}-\bar{x}_{k}\right)^{2}, k=1,2, \ldots, dσ(xk​,