ACM-乘法逆元

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1.什么是乘法逆元
乘法逆元（在维基百科中也叫倒数，当然是 mod p后的,其实就是倒数不是吗？）:
如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。
用代码来理解

if(a*x%p==1){
	cout<<x<<endl;
}

2.如何求乘法逆元
①：费马小定理
费马小定理(Fermat’s little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），例如：假如a是质数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。

由费马小定理a^(p-1)≡ 1(mod p)(p为素数)，稍作变形即是 a*a^(p-2)≡ 1(mod
p)，是不是发现了，a^(p-2)即是a的逆元

②扩展欧几里得算法
有时候p可不是素数，这该怎么求他的逆元呢？
同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
a乘一个数x并模p等于1，即 a%p*x%p=res,res%p=1
同余定理：同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。

扩充：（转）
现在你知道为什么有的题要叫你“输出答案mod xxxxx的结果”了吧，那是为了避免高精度运算，因为这里的结论告诉我们在运算过程中边算边mod和算完后再mod的结果一样。假如a是一个很大的数，令b=a mod m，那么(a * 100) mod m和(b * 100) mod m的结果是完全一样的，这相当于是在a≡b (mod m)的两边同时乘以100。这些结论其实都很显然，因为同余运算只关心余数（不关心“整的部分”），完全可以每一次运算后都只保留余数。因此，整个运算过程中参与运算的数都不超过m，避免了高精度的出现。

回到扩展欧几里得算法，如何得出我们要的逆？
那么ax≡1 (mod p)即ax-yp=1.把y写成+的形式就是ax+py=1，为方便理解下面我们把p写成b就是ax+by=1。就表示x是a的模b乘法逆元，y是b的模a乘法逆元。然后就可以用扩展欧几里得求了。

扩展欧几里得算法就是在求a,b的最大公约数m=gcd(a,b)m=gcd(a,b)的同时，求出贝祖等式ax + by = m的一个解(x,y)。

用类似辗转相除法，求二元一次不定方程47x+30y=1的整数解。
47=30*1+17
30=17*1+13
17=13*1+4
13=4*3+1
然后把它们改写成“余数等于”的形式

17=47*1+30*(-1) //式1
13=30*1+17*(-1) //式2
4=17*1+13*(-1) //式3
1=13*1+4*(-3)
然后把它们“倒回去”

1=13*1+4*(-3) //应用式3
1=13*1+[17*1+13*(-1)]*(-3)
1=13*4+17*(-3) //应用式2
1=[30*1+17*(-1)]*4+17*(-3)
1=30*4+17*(-7) //应用式1
1=30*4+[47*1+30*(-1)]*(-7)
1=30*11+47*(-7)
得解x=-7, y=11。

设：a>b。
　　推理1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0;//推理1
　　推理2，ab!=0 时
　　设 ax1+by1=gcd(a,b);
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
　　根据恒等定理得：x1=y2 ,y1=x2-(a/b)*y2;//推理2
　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
   上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {//推理1，终止条件
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a%b, x, y);
    //先得到更底层的x2,y2,再根据计算好的x2,y2计算x1，y1。
    //推理2，递推关系
    int t = y;
    y = x - (a/b) * y;
    x = t;
    return r;
}

x1=y2;
y1=(a/b)∗y2;

exgcd(47, 30, x, y)
 {
     r = exgcd(30, 17，x, y)
     {
         r = exgcd(17, 13, x, y)
         {
             r = exgcd(13, 4, x, y)
             {
                 r = exgcd(4, 1, x, y)
                 {
                     r = exgcd(1, 0, x, y)
                     {
                         x = 1; 
                         y = 0;
                         return 1;
                     }
                     t = y = 0;
                     y = x - (4/1) * y = 1;
                     x = t = 0;
                     return r = 1; 
                 }
                 t = 1;
                 y = 0 - (13/4) * 1 = -3;
                 x = 1;
                 return 1;
             }
             t = -3;
             y = 1 - (17/13) * (-3) = 4;
             x = -3;
             return 1;
         }
         t = 4;
         y = -3 - (30/17) * 4 = -7;
         x = 4;
         return 1;
     }
     t = -7;
     y = 4 - (47/30) * (-7) = 11;
     x = -7;
     return 1;
 }
 最后的结果:
 r = exgcd(47,30,x,y) = 1;
 x = -7;
 y = 11;

转自 https://blog.youkuaiyun.com/yoer77/article/details/69568676