343整数拆分

本文参考：https://blog.youkuaiyun.com/qq_17550379/article/details/82811007

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

 

 
1
2
3

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

 

 
1
2
3

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

解题思路

这个问题很简单，可以通过递归解决。举个列子，对于正整数4，我们要知道将4拆分为哪几个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化，那我们只要知道3、2、1的乘积最大化分别是多少，然后从中选出最大值即可，以此类推下去即可。

递归

c++ 代码

#include<vector>
class Solution {
private:
    int max3(int a,int b, int c){
        return max(a,max(b,c));
}
    int breakInteger(int n){
        if(n==1)
            return 1;
        int res=-1;
        for(int i=1;i<=n-1;i++)
            //i+(n-i)
            res=max3(res,i*breakInteger(n-i),i*(n-i)); //注意此处的陷进
            //至少分割为两部分。
         return res;
        }

public:
    int integerBreak(int n) {
        assert(n>=2);
        return breakInteger(n);
    }
};

python代码

class Solution:
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n == 1:
            return 1

        result = -1
        for i in range(1, n):
            result = max(result, i*(n - i), i * self.integerBreak(n - i))

        return result

很多人在写上面这个代码的时候会将

max(result, i*(n - i), i * self.integerBreak(n - i)) ==>
max(result, i * self.integerBreak(n - i))

 

 
1
2

写成下面的那种形式，关键问题在于没有理解函数的定义。integerBreak是将一个正整数拆分为至少两个正整数的和，也就是说i * self.integerBreak(n - i)至少是三个整数的积，那么我们在比较最大值的时候自然要将i*(n - i)给加上啦。

上面这种算法中存在着大量的重复运算（在哪里呢？）。我们可以通过记忆化搜索的方式来优化上面的问题。

记忆化搜索＋递规（自顶向下设计思想）

c++ 代码

#include<vector>
class Solution {
private:

    int max3(int a,int b, int c){
        return max(a,max(b,c));
}
    int breakInteger(int n,vector<int>&memo){
        if(n==1)
            return 1;
        if(memo[n]!=-1)
            return memo[n];
        int res=-1;
        for(int i=1;i<=n-1;i++)
            //i+(n-i)
            res=max3(res,i*breakInteger(n-i,memo),i*(n-i)); //注意此处的陷进
            //至少分割为两部分。
        memo[n]=res;
        return res;
        }

public:
    int integerBreak(int n) {
        assert(n>=2);
        vector<int>memo(n+1,-1);//记忆搜索
        return breakInteger(n,memo);
    }
};

动态规化（自底向上设计思想）

c++ 代码

class Solution {
private:

    int max3(int a,int b, int c){
        return max(a,max(b,c));
}


public:
    int integerBreak(int n) {
        assert(n>=2);
        vector<int>memo(n+1,-1);
        //memo[i]表示将数字i分割成（至少两分后）得到的最大乘积    
        memo[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i-1;j++)
                //j+(i-j)
                memo[i]=max3(memo[i],j*(i-j),j*memo[i-j]);
                //memo[i-j]表示将i-j继/续分割
        return memo[n];
     
    }
};

思考题：279 perfect Squares 图+动态规化
91 Decoded Ways
是否存在递规，是否存在重叠子问题
是否可以用动态规化
62 Unique Paths