洛谷 P1616 疯狂的采药

博客介绍了采药问题的输入输出格式。输入包含总采药时间T和草药数目M,后续M行给出每种草药的采摘时间和价值;输出为规定时间内可采到的草药最大总价值,并给出了输入输出样例。

输入格式
输入第一行有两个整数T(1 <= T <= 100000)和M(1 <= M <= 10000),用一个空格隔开,T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间(包括1和10000)的整数,分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。
输出格式
输出一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。
输入样例
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例
140

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int i,j,T,M,t[101],p[101],f[1001];
int main()
{
    scanf("%d%d",&T,&M);
    for(i=1;i<=M;i++)
        scanf("%d%d",&t[i],&p[i]);
    for(i=1;i<=M;i++)
        for(j=T;j>=t[i];j--)//从右到左计算
            f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+p[i]);//递推
    //当需要的左边的值为数组越界时,值不变
    printf("%d",f[T]);
    return 0;
}
<think>好的,用户想了解洛谷P1616疯狂采药”的题解和算法分析。先回忆一下完全背包问题的基本概念。根据引用1和2,这个问题与01背包不同,每种物品可以无限次取用。所以这题是一个典型的完全背包问题。 用户提供的引用中提到,完全背包的状态转移方程和一维数组的优化方法。引用3指出,直接暴力枚举每种物品取用次数会导致时间复杂度过高,不可行。因此,必须采用优化的动态规划方法。 接下来需要考虑如何构建动态规划的状态转移方程。根据引用2中的Java代码示例,使用一维数组dp,其中dp[j]表示时间j内能获得的最大价值。遍历每种草药,然后从该草药的时间开始更新dp数组,这样可以确保每种草药可以被多次选取。 另外,需要注意时间复杂度的优化。引用3提到,原始的状态转移方程会导致O(MT^T)的复杂度,但使用一维数组并正向遍历可以将复杂度降为O(MT),其中M是草药种类数,T是总时间。这样在题目给定的数据范围内(T到1e5)也能高效运行。 然后要验证代码实现的正确性。查看引用2中的Java代码,发现其通过双重循环,外层遍历草药种类,内层从time[i]到总时间T,逐步更新dp[j]的值,符合完全背包的优化思路。这说明代码实现是正确的。 还需要考虑空间复杂度的问题。使用一维数组代替二维数组,空间复杂度从O(MT)降为O(T),这在处理大时间范围时非常必要,避免内存溢出。 最后,总结解题步骤:初始化dp数组,遍历每种草药,正向更新dp数组的值,最后输出dp[T]。同时,需要处理输入输出的格式,确保读取正确的草药时间和价值数据。 用户可能还有疑问,比如如何区分完全背包与01背包,或者优化方法的具体原因。需要准备好回答这些问题,并引用相关参考资料来支持解释。</think>### P1616 疯狂采药 题解与算法分析 #### 一、问题性质 题目属于**完全背包问题**,与01背包的核心区别在于:**每种草药可以无限次采摘**。需要在一定时间限制$T$内,选择采药策略使总价值最大化[^1]。 #### 二、动态规划解法 ##### 1. 状态定义 - 定义$dp[j]$表示在时间$j$内能获得的最大价值 ##### 2. 状态转移方程 $$dp[j] = \max(dp[j], \ dp[j - time[i]] + value[i])$$ *解释*:当遍历到第$i$种草药时,若当前时间$j$允许采摘该草药(即$j \geq time[i]$),则比较保持原状态与采摘该草药后的总价值[^2]。 ##### 3. 实现步骤 1. 初始化长度为$T+1$的数组$dp$,所有元素初始化为0 2. 遍历每种草药$i$($1 \leq i \leq M$) 3. **正向遍历**时间$j$(从$time[i]$到$T$) 4. 更新$dp[j]$的值 ```python def max_value(T, M, time_list, value_list): dp = [0] * (T + 1) for i in range(M): t = time_list[i] v = value_list[i] for j in range(t, T + 1): if dp[j - t] + v > dp[j]: dp[j] = dp[j - t] + v return dp[T] ``` #### 三、复杂度分析 - **时间复杂度**:$O(M \cdot T)$ *解释*:双重循环分别遍历草药种类和时间范围 - **空间复杂度**:$O(T)$ *优势*:相比二维数组$O(M \cdot T)$,节省大量空间[^2] #### 四、算法优化原理 通过**正向遍历**实现状态转移,允许同一物品多次被选取。与01背包的逆序遍历形成对比,这正是完全背包问题的核心处理技巧[^3]。 #### 五、测试样例验证 假设输入: ``` 70 3 71 100 69 1 1 2 ``` 输出应为$140$(通过采摘第三种草药70次)
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