整数快速幂

最新推荐文章于 2021-08-22 16:47:07 发布

ACM小学生

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本文介绍了一种高效计算幂运算的方法——快速幂算法。通过将指数转换为二进制表示，并利用位运算，快速幂能够将时间复杂度从O(n)降低至O(logn)。文章详细解释了算法原理及实现代码。

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快速幂

简介

快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求 a^b ，按照平时的算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多
它的原理如下：
假设我们要求 a^b ，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为 2^(i-1) ，例如当 b=11 时，11的二进制为 1011 ， 11=2³×1+2²×0+2¹×1+2º×1 ， a^x*a^y=a^(x+y) ，所以 a^11=a^(2^0+2^1+2^3)=a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)
因为用到了二进制，所以要用到 & 和 >> 运算符， & 运算用于二进制取位操作，例如 a&1 的结果就是取a的二进制的末位，还可以用来判断奇偶 x&1=0 为偶， x&1=1 为奇； >> 运算是去掉二进制的末位

代码

int poww(int a,int b)
{
    int ans=1,res=a;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1!=0)ans*=res;
        res*=res;
        b>>=1;///相当于b=b>>1
    }
    return ans;
}

代码详解

代码很短，就对于当 b=11 时来说， a^11 = a^(2^0+2^1+2^3) = a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) = a^1*a^2*a^8 ，相当于二进制的哪一位为1，就需要乘以a的该位的权重次幂，11的二进制为 1011 ，第1，2，4位为1，他们对应应该为 a^0，a^2，a^8 ，代码中的 if(b&1!=0)ans*=res; 就是将二进制为1的位a的对应次幂，乘到结果上， res*=res; 二进制每进一位，该位对应的幂翻倍，就相当于该位a的对应次幂的结果平方，简明的说，就是让 res 的值为 a^0;a^2;a^4;a^8;a^16;......
快速幂的代码很短很好用，也能减少不少的代码运行时间，所以，再遇见与求幂有关的题目是就优先考虑用快速幂吧