代码源每日一题 div1 #709. 最大权值划分

最大权值划分

大概题目意思是给你一个数组，你需要把它划分为连续的一些子数组，使得每个子数组的max-min最小。

思路

第一眼的时候没啥思路，直接想了个$O(n^2)$的做法，也就是枚举最后一个子数组划分到哪里，也不懂咋优化。

正解

观察到最大减最小（极差问题），等价于给一个子数组里面的两个数字，一个给一个+号，一个给一个-号，成对赋予了这些符号后，整个数组的极差最大。

那么可以先不考虑怎么划分，想象最优解，数组中的正负号形态肯定也是像上面所说的那样。即$..+.....-..-...+...+...-...$这样子的一个形态。那么便豁然开朗了起来，我们便不需要考虑怎么划分，只需要使得给这些数字添上+/-号之后，使得极差最大即可。找到最优解后，只有一对+，-号所构成的子数组中，+号那个数必然是最大值，-号那个数字必然是最小值，若不是，则能找到一个更大/更小的值，即能找到一组更优的解，这和最优解矛盾！

有了上面的思想，我们来考虑设计状态，考虑到+，-号都是成对出现的，1～i这个前缀中，$-,+$之间的差的有1，0，-1三种可能

所以，状态表示为$f[i][3]$

• $f[i][0]$表示-和+之间的差为-1
• $f[i][0]$表示-和+之间的差为0
• $f[i][0]$表示-和+之间的差为1

状态转移

• $f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]-a[i])$
• $max(f[i-1][1],max(f[i-1][0]+a[i],f[i-1][2]-a[i]));$
• $f[i][0]=max(f[i-1][2],f[i-1][1]+a[i]);$

这题状态转移和状态表示不难想，关键是如何想到如何把一个极差问题转化为添加正负号，证明这与划分等价。（似乎最大值减最小值一般都是最大值添加正号，最小值添加负号这个套路），比如子串的最大差这个题。

code

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long LL;
using tp = tuple<int,int,int>;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 1e6 + 10, M = 3010, mod = 998244353, INF = 1e9;
bool multi = false;


int n;
LL f[N][3];

void solve() {
    
    scanf("%d", &n);
    f[0][1] = 0, f[0][0] = f[0][2] = -INF;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);

        f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1] - x);
        f[i][1] = max(f[i - 1][1], max(f[i - 1][0] + x, f[i - 1][2] - x));
        f[i][2] = max(f[i - 1][2], f[i - 1][1] + x);
    }

    printf("%lld\n", f[n][1]);
    
}

int main() {
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else 
    freopen("D.txt", "r", stdin);
#endif
//     ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T = 1;
    if(multi) cin >> T;
    while (T--) solve();
    return 0;
}