动态规划算法

概念理解
动态规划是从小问题着手，逐步解决大问题，每次决策依赖于当前的状态 进而引起状态的转移，把一个问题拆分成子问题的一种思想，利用二维的思想在解决生活中的各种问题。
举个例子：假设你明天要去户外，你有一个背包，容量只有4千克。你可盗窃的东西有三件:

为了让你的背包装的东西价值最高，你会怎样选择:
最简单的算法是，尝试各种商品的组合，并找出价值最高的组合。

这样可行，但是非常慢，试想一下，3件商品需要计算8中不同的组合,如果4 件 那你需要2^4种组合，每增加一种商品 计算的范围将扩大一倍。时间复杂度O(n^2),慢如蜗牛。只要商品数量扩大到一定程度，这种该算法行不通。
当然，答案是使用动态规划,每个动态规划算法都是从一个网格开始，网格如下:

网格的各行为商品，你都需要,各列为不通容量(1~4)的背包，所有这些列你也都需要，因为将帮助你计算子背包的价值。
1.手机行
我们先一步一步做，首先看第一行,你将尝试将它装入背包,在每一个单元格，你都需要做一个简单的决定，装不装手机，别忘了，你要找出一个价值最高的商品组合.第一各单元格的背包容量为1kg,手机重量也是1kg，能装入背包，因此装入，价值为1500元因此填入:

再看下一个，背包容量为2kg，饼干为1kg 完全可以装得下，这行的其他单元格也一样，因为这一行只有饼干可供选择，假设其他商品还没有来得及装。因此 网格变为如下:

你的目的是让背包中商品价值最大化,这行表示当前最大值,当然，你知道这并不是最优解,随算法的往下执行，你将逐步计算并修改最大价值。我们再看

该不该装大桶水呢,背包容量为1kg，税太重了 装不下 看下一个 背包容量为2kg 同样装不下，容量为3kg 也装不下，容量为4kg 刚好能装下,而且价值最高,因此网格变为:

你更新了最大值,因此下面 你逐步更新最大值,用同样的方法来处理手机行,手机重3kg，没法装入，容量为1kg 2kg的背包,因此 前两个单元格的最大价值依然是1500元,

当背包容量为3kg时，原来的最大价值时1500元，但是现在你可以选择装入价值3000元的大包饼干,因此，更新最大价值为3000元,

对于容量为4kg的背包,情况有趣,也非常重要，当前的最大价值为4000元.你可以不装大桶水，只装饼干 价值只有3000元 4000 > 3000 价值没有原来高,但想一想，饼干重量只有3kg，还剩1kg容量没有使用! 在1kg容量中 可装入的最大价值是多少呢?根据之前计算的最大价值可知，1kg背包可装入的最大价值是手机 1500元,因此，你需要做如下比较:

4000 vs 3000+1500 ?
因此 网格的最终计算结果如下:

确定最终答案 装入手机和大包饼干 价值最大。
其实，在计算每一个单元格时 都使用了相同的公式:

同样，
有数组nums，nums中所有的值都为正数且不重复，每种面值的货币可以使用任意次，再给定一个整数capacity(小于等于1000)为和，能有多少种计算方法。
给定数组nums及它的大小(小于等于100)，同时给定一个整数capacity，请返回有多少种方法相加等于capacity。
测试样例：
[1,3,5],3,8
返回：5

解析：设tmp[n][m]为使用前n中凑成的m的种数，那么就会有两种情况：
使用第n种：tmp[n-1][m]+tmp[n][m-nums[n]]
不用第n种：tmp[n-1][m]，为什么不使用第n种呢，因为nums[n]>m。
这样就可以求出当m>=nums[n]时 tmp[n][m] = tmp[n-1][m]+tmp[n][m-nums[n]]，否则，tmp[n][m] = tmp[n-1][m]