洛谷P3389 【模板】高斯消元 高斯-约旦消元法

复习的时候又翻了翻题解，发现了这个科技，挺NB的。

普通的高斯消元的思路是把一行的某一项系数变为1，然后用这个对未操作的等式的这一项消去。

于是，进行消去后的形式变成了这样(a,b,c,d是常数，x,y,z是未知数）：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{1}x& b_{1}y& c_{1}z=d_1\\ 0& b_{2}y& c_{2}z=d_2\\ 0& 0& c_{3}z=d_3\end{array}\right|$$
所以还有回带操作，对于精度有些许影响，常数稍大，还不便记忆。

普通高消code:

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long double Map[105][105],ans[105];
const double eps=1e-10;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n+1;++j)
			scanf("%Lf",&Map[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int r=i;
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			if(fabs(Map[r][i])<fabs(Map[j][i]))r=j;//选取系数最大的作为主元，用于减小误差
		if(i!=r) swap(Map[r],Map[i]);
		if(fabs(Map[i][i])<eps){
			puts("No Solution");
			return 0;
		}//这一元最大的系数为0，无解
		double Div=Map[i][i];//把这一元系数变成1
		for(int j=i;j<=n+1;++j)Map[i][j]/=Div;
		for(int j=i+1;j<=n;++j){
			Div=Map[j][i];
			for(int k=i;k<=n+1;++k)
				Map[j][k]-=Map[i][k]*Div;
		}//相减
	}
	ans[n]=Map[n][n+1];
	for(int i=n-1;i>0;--i){
		ans[i]=Map[i][n+1];
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			ans[i]-=Map[i][j]*ans[j];
	}//回带
	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%.2Lf\n",ans[i]);
	return 0;
}

而我们主角——的高斯-约旦消元法，就更加简单粗暴，直接把这个矩阵变成了（省略等号）：
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1}x& 0& 0& d_1\\ 0& b_{2}y& 0& d_2\\ 0& 0& c_{3}z& d_3\end{array}\right|$$

然后输出的时候直接除以系数就好了：）

具体的操作也很简单， 唯一的区别是，我们每一次都对所有的行列式一起消去这一元。
code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long double a[105][105];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=n+1;++j)
			scanf("%Lf",&a[i][j]);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int p=i;
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[p][i]))p=j;
		swap(a[i],a[p]);
		if(fabs(a[i][i])<1e-15){
			puts("No Solution");
			return 0;
		}
		for(int j=1;j<=n;++j)//与普通高消最大的不同。
			if(j!=i){
				double tmp=a[j][i]/a[i][i];
				for(int k=i+1;k<=n+1;++k)
					a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
			}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		printf("%.2Lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
	}
	return 0;
}

另外：用long double时记得使用eps，窝有次就锅在这了，然而用double直接判0即可（