平衡二叉树

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平衡二叉树

搜索树的结点按不同插入次序，将导致不同的深度和平均查找长度ASL。

引例：

【简单解析】例如图一：寻找Jan结点的查找长度为1，Feb的查找长度为2，Mar的查找长度为2，Apr，June，May的查找长度为3……

因此 ASL（图a）=【1x(第一层总节点数)+2x(第二层总节点数)+3x(第3层总节点数)+.......】/ 总结点数

不难发现，上述三个图中图b的平均查找长度ASL最小，所以这样的结构查找效率很好，它具有的特点是左右两边相对平衡。

------------------那么什么是平衡二叉树？怎样判断一棵树是否是平衡二叉树呢？----------------

（先抛出一个概念：）

平衡因子（Balance Factor,简称BF）:

-------- BF（Tree）= hL - hR (hL，hR分别表示左、右子树的高度) ---------

平衡二叉树（AVL树）:

是一棵空树或任意结点左、右子树高度差的绝对值不超过1，即 | BF（Tree）|<=1

【注】若给定N个结点的平衡二叉树，它的最大高度为O( $log$ $2$ N).

平衡二叉树的调整：

One: LL左单旋

当插入 Aug 和 Apr 时，Mar的平衡因子变为 2 >1,所以Mar是失衡的“发现者”，而Apr是失衡的“麻烦结点”。

而此时“麻烦结点”是位于“发现者”的左子树的左子树。

因此我们进行LL旋转（左单旋）【注意旋转时仍然要保持是搜索树，左边小右边大】

针对Apr，Aug，Mar三个结点进行LL单旋时，Apr<Aug<Mar因此旋转后Aug为根，Apr为左子树，Mar为右子树。

对于上图：在BL左或右子树插入新节点时，A为发现者，新节点为破坏者，新节点是插在A的左子树的左子树 BL上，所以针对A、B、BL 进行左左单旋，而BL<B<A，所以B作为根，BL作为左子树，A作为右子树，而A>【BR】>B, 所以BR放在A的左子树上。OK啦~

Two: RR单旋

当插入 May 和 Nov 时，Mar的平衡因子变为 | -2 |>1, 所以Mar是失衡的“发现者”，而Nov是失衡的“麻烦结点”。

而此时“麻烦结点”是位于“发现者”的 右子树的右子树 。

因此我们进行RR旋转（右单旋）【注意旋转时仍然要保持是搜索树，左边小右边大】

针对May，Nov ，Mar三个结点进行LL单旋时，Mar < May < Nov 因此旋转后 May 为根，Mar 为左子树，Nov 为右子树。

对于上图：在BR左或右子树插入新节点时，A为发现者(|-2|>1)，新节点为破坏者，新节点是插在A的右子树的右子树 BL上，所以针对A、B、BR 进行右右单旋，而 A < B < BR，所以B作为根，BR作为右子树，A作为左子树，而B>【BL】>A，所以BL放在A的右子树上就OK啦~

Three: LR双旋

当插入Jan时，May的平衡因子变为 |2 |>1, 所以May是失衡的“发现者”，而Jan是失衡的“麻烦结点”。

而此时“麻烦结点”是位于“发现者”的 左子树的右子树 。

因此我们进行LR旋转（左右双旋时， Aug<Mar< May 因此旋转后 Mar 为根，Aug 为左子树，May 为右子树。

对于下图：在CL或CR的左或右子树插入新节点时，A为发现者(|2|>1)，新节点为破坏者，新节点是插在A的左子树的右子树 CL或CR上，所以针对A、B、C 进行左右双旋，而 B< C < A，所以C作为根，A作为右子树，B作为左子树，而B<【CL】<C，C<【CR】<A 所以CL放在B的右子树上,CR放在A的左子树就OK啦~

Four: RL双旋

当插入Feb时，Aug的平衡因子变为 |-2 |>1, 所以Aug是失衡的“发现者”，而Feb是失衡的“麻烦结点”。

而此时“麻烦结点”是位于“发现者”的 右子树的左子树 。

因此我们进行RL旋转（右左双旋时， Aug<Dec<Jan 因此旋转后 Dec 为根，Aug 为左子树，Jan为右子树。

【注】Apr>Aug,挂在Aug的左子树上。Jan>Feb>Dec,所以Feb挂在Jan的左子树上，而July>Jan，还挂在右子树上。

对于下图：在CL或CR的左或右子树插入新节点时，A为发现者(|2|>1)，新节点为破坏者，新节点是插在A的右子树的左子树 CL或CR上，所以针对A、B、C 进行左右双旋，而 A< C <B，所以C作为根，A作为左子树，B作为右子树，而A<【CL】<C，A<【CR】<B所以CL放在A的右子树上,CR放在B的左子树就OK啦~

Such as

-----------------------------一：插入June-----------------------------

插入June后，Mar失衡，而June是在Mar的左子树的右子树上，所以对Mar、Dec、Jan进行LR双旋。
Dec<Jan<Mar,所以以Jan为根结点，Dec为左子树，Mar为右子树。
Dec<Feb<Jan,所以Feb挂在Jan的左子树上，Dec的右子树上。
July>Jan应挂在Jan的右子树上，但July又<Mar所以最终挂在Mar的左子树，June跟着过去了。