欧几里德， 与 扩展欧几里德

扩展欧几里得算法是欧几里得算法(又叫辗转相除法)的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y(其中一个很可能是负数)。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数--这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

扩展 ：
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。

gcd函数的基本性质：

gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

折叠欧几里得算法的公式表述

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

折叠欧几里德算法的C++语言描述

int Gcd(int a, int b)

{

if(b == 0)

return a;

return Gcd(b, a % b);

}

当然你也可以写成迭代形式：

int Gcd(int a, int b)

{

while(b != 0)

{

int r = b;

b = a % b;

a = r;

}

return a;

}

扩展算法 ：
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整

数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

#include <iostream>

using namespace std;

int x,y,q;

void extend_Eulid(int a,int b)

{

if(b == 0)

{

x = 1;y = 0;q = a;

}

else

{

extend_Eulid(b,a%b);

int temp = x;

x = y;

y = temp - a/b*y;

}

}

int main()

{

int a,b;

cin>>a>>b;

if(a < b)

swap(a,b);

extend_Eulid(a,b);

printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);

return 0;

}

求解xy的方法的理解 ：
设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab<>0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a div b)*b)y2=ay2+bx2-(a div b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-( div b)*y2 x1=y2; y1=x2-(a div b)*y2; ;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以

结束。

折叠扩展欧几里德算法 ：
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)

{

if(b == 0)

{

x = 1;

y = 0;

return a; ---很难找出一个这么实现的价值，因为扩展欧几里得还有更大的用途；个人认为定义全局数组更好,不用return r。

}

int r = exGcd(b, a % b, x, y);

int t = x;

x = y;

y = t - a / b * y;

return r;

}

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

可以这样思考:

对于a’ = b, b’ = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a’x + b’y = Gcd(a’, b’)

由于b’ = a % b = a - a div b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)

那么可以得到:

a’x + b’y = Gcd(a’, b’) ===>

bx + (a - a div b * b)y = Gcd(a’, b’) = Gcd(a, b) ===>

ay +b(x - a div b*y) = Gcd(a, b)

因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a div b*y)

折叠使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法 ：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后， /p a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：

p = p0 + b/Gcd(a, b) * t

q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可

在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是

得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：

p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

编程时 exgcd 更多用于求解“中国余数定理”相关知识 举个例子 比如n除以5余2 除以13余3 那么n最小是多少，所有的n满足什么条件？

n（min)=42

n=42+k*65

欧几里德算法的扩展 ：

//扩展的欧几里德算法求乘法逆元

#include <stdio.h>

int ExtendedEuclid( int f,int d ,int *result);

int main()

{

int x,y,z;

z = 0;

printf("输入两个数：\n");

scanf("%d%d",&x,&y);

if(ExtendedEuclid(x,y,&z))

printf("%d和%d互素，乘法的逆元是：%d\n",x,y,z);

else

printf("%d和%d不互素，最大公约数为：%d\n",x,y,z);

return 0;

}

int ExtendedEuclid( int f,int d ,int *result)

{

int x1,x2,x3,y1,y2,y3,t1,t2,t3,q;

x1 = y2 = 1;

x2 = y1 = 0;

x3 = ( f>=d )?f:d;

y3 = ( f>=d )?d:f;

while( 1 )

{

if ( y3 == 0 )

{

*result = x3; /* 两个数不互素则result为两个数的最大公约数，此时返回值为零 */

return 0;

}

if ( y3 == 1 )

{

*result = y2; /* 两个数互素则resutl为其乘法逆元，此时返回值为1 */

return 1;

}

q = x3/y3;

t1 = x1 - q*y1;

t2 = x2 - q*y2;

t3 = x3 - q*y3;

x1 = y1;

x2 = y2;

x3 = y3;

y1 = t1;

y2 = t2;

y3 = t3;

}

}