拉格朗日插值定理的计算原理和使用方法

任给定F中2n+2个数x1，x2，…，xn+1，y1，y2，…，yn+1，其中x1，x2，…xn+1互不相同，则存在唯一的次数不超过n的多项式pn(x)，满足pn(xi)=y1(i=1，2，…，n+1)，这里：

叫做拉格朗日插值公式。公式的几何解释是：存在唯一的次数不超过n的抛物线

 

（多项式插值定理）令(x1,y1),...,(xn,yn)(x1,y1),...,(xn,yn)是平面中的nn个点，各xixi互不相同。则有且仅有一个n−1次或者更低的多项式P满足P(xi)=yi,i=1,2,...,n.

有了以上定理，我们可以放心地使用多项式进行插值，同时，通过上述定理，我们可以用归纳法来构造此多项式，但是，这样的方法难免复杂麻烦。于是，天才的法国数学家拉格朗日（Lagrange）创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题，那么，他的方法是怎么样的？ 
一般来说，如果我们有n个点(x1,y1),...,(xn,yn)(x1,y1),...,(xn,yn)，各xi互不相同。对于1到n之间的每个k，定义n−1次多项式 

Lk(x)具有有趣的性质：.然后定义一个n−1次多项式 

这样的多项式Pn−1(x)满足Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n.Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n.这就是著名的拉格朗日插值多项式！