01背包问题解题思路

最新推荐文章于 2025-06-17 22:29:32 发布

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#背包问题 #算法 #动态规划

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本文围绕01背包问题展开，介绍了使用动态规划解决该问题的方法。通过寻找递推关系式，利用滚动数组优化空间。还阐述了根据最优解回溯找出解的组成的方式，对比了动态规划与蛮力法的优劣，指出动态规划可将复杂问题拆分为小问题并记录解，减少计算量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述：有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

F(i,j)表示取前i个物品，使他们总体积不超过j的最优取法取得的价值总和

寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：
第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值仍为上一个状态(i-1)的价值且当前容量不变，即F(i,j)=F(i-1,j);
第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，装了之后即F(i,j)=F(i-1 , j - w(i))+v(i);这里的j为上个状态留下来的容量，装了之后要使上个状态的j - w(i)才为装了当前物品的容量，且价值总和加v(i))
所以在装与不装之间选择最优的一个，即F(i,j)=max{ F(i-1 , j),F(i-1 , j - w(i))+v(i) }

解决背包问题若使用记忆型递归，则需要二维数组F[i][j]，容量很大时会超出内存
注意到这个二维数组的下一行的值，只用到了上一行(i-1,j)及左边(i-1, j - w(i)的值，现使用滚动数组的思想
**滚动数组：**上一行的值使用完之后便不会再使用了，照成空占内存的浪费，现让新一行的地址存在上一行的地址，就不用创建这么多的内存空间

我们现在求红圈F(i,j)的值，需要用到F(i-1,j-(w))(位于F(i,j)的左上边)和F(i-1,j) (位于F(i,j)的上边)在的值，F(i,j)可以从左往右算，也可以从右往左算，现让F(i,j)可以从右往左算，算出来之后边代替上一行的值(此时F(i-1,j)已经没有用了)，便可以将算出的值放在上一行的位置中。

最优解即是V(number,capacity)=V(4,8)=10，但还不知道解由哪些商品组成，故要根据最优解回溯找出解的组成，根据填表的原理可以有如下的寻解方式：
　　　　1) V(i,j)=V(i-1,j)时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；
　　　　2) V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)实时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成的一部分，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；
　　　　3) 一直遍历到i＝0结束为止，所有解的组成都会找到。
　　j) 如上例子，
　　　　1) 最优解为V(4,8)=10，而V(4,8)!=V(3,8)却有V(4,8)=V(3,8-w(4))+v(4)=V(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被选中，并且回到V(3,8-w(4))=V(3,3)；
　　　　2) 有V(3,3)=V(2,3)=4，所以第3件商品没被选择，回到V(2,3)；
　　　　3) 而V(2,3)!=V(1,3)却有V(2,3)=V(1,3-w(2))+v(2)=V(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被选中，并且回到V(1,3-w(2))=V(1,0)；
　　　　4) 有V(1,0)=V(0,0)=0，所以第1件商品没被选择；

 #include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 4
#define cap 8
int f[N + 1][cap + 1], w[N + 1] = { 0, 2, 3, 4, 5 }, v[N + 1]{0, 3, 4, 5, 6};
int sect[N];
void finwhat(int i,int j){
	if (i > 0){
		if (f[i][j] == f[i - 1][j]){
			sect[i] = 0;
			finwhat(i - 1, j);
		}
		else if (j - w[i]>=0 && f[i][j] == f[i - 1][j - w[i]] + v[i])
		{
			sect[i] = 1;
			finwhat(i - 1, j - w[i]);
		}
	}
}
/*二维数组存储部分*/
//int main(void){	
//	int i,j;
//	for ( i = 1; i <= N; i++){
//		for ( j = 1; j <= cap; j++){
//			if (j < w[i])
//				f[i][j] = f[i - 1][j];
//			else{
//				if (f[i - 1][j]>f[i - 1][j - w[i]] + v[i])
//					f[i][j] = f[i - 1][j];
//				else
//					f[i][j] = f[i - 1][j - w[i]] + v[i];
//			}
//			cout << f[i][j]<<" ";
//		}
//		cout << endl;
//	}
//	
//	finwhat(i-1, j-1);
//	for (int i = 0; i <= N; i++)
//		cout << sect[i]<<" ";
//		
//	
//	return 0;
//}
/*空间优化部分*/
int f1[cap + 1];
int main(){
	int i, j;
	for (i = 1; i <= N; i++){
		for (j = cap; j >= 0; j--){
			if (j < w[i])
				f1[j] = f1[j];
			else{
				f1[j] = max(f1[j], f1[j - w[i]]+v[i]);
			}
			cout << f1[j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	cout <<"ans:"<< f1[cap];
	return 0;
}

总结：
　　对于01背包问题，用蛮力法与用动态规划解决得到的最优解和解组成是一致的，所以动态规划解决此类问题是可行的。动态规划效率为线性，蛮力法效率为指数型，结合以上内容和理论知识可以得出，解决此问题用动态规划比用蛮力法适合得多。对于动态规划不足的是空间开销大，数据的存储得用到二维数组；好的是，当前问题的解只与上一层的子问题的解相关，所以，可以把动态规划的空间进行优化，使得空间效率从O(n*c)转化为O©，遗憾的是，虽然优化了空间，但优化后只能求出最优解，解组成的探索方式在该方法运行的时候已经被破坏掉；总之动态规划和优化后的动态规划各有优缺点，可以根据实际问题的需求选择不同的方式。
动态规划可以解决哪些类型的问题？
待解决的原问题较难，但此问题可以被不断拆分成一个个小问题，而小问题的解是非常容易获得的；如果单单只是利用递归的方法来解决原问题，那么采用的是分治法的思想，动态规划具有记忆性，将子问题的解都记录下来，以免在递归的过程中重复计算，从而减少了计算量。
参照博客：https://www.cnblogs.com/Christal-R/p/Dynamic_programming.html