判断某一点是否在三角形内

1.同向法

假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。我们就利用这一点，但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢？我们可以从另一个角度来思考，当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了，如何判断两个点在某条线段的同一侧呢？

 

首先看一下这个问题，如何判断某两个点在某条直线的同一侧（代码中函数：IsPointAtSameSideOfLine）？

根据向量的叉乘以及右手螺旋定则，AB^AM （^表示叉乘，这里向量省略了字母上面的箭头符号）的方向为向外指出屏幕，AB^AN也是向外指出屏幕，但AB^AO的方向是向内指向屏幕，因此M,N在直线AB的同侧，M ,O在直线AB的两侧。实际计算时，只需要考虑叉积的数值正负

假设以上各点坐标为A(0,0), B(4,0), M(1,2), N(3,4), O(3,-4)， 则：

AB^AM = (4,0)^(1,2) = 4*2 - 0*1 = 8

AB^AN = (4，0)^(3，4) = 4*4 – 0*3 = 16

AB^AO = (4,0)^(3,-4) = 4*-4 – 0*3 = –16

由上面的数值可知，可以根据数值的正负判断叉乘后向量的方向。即，如果叉积AB^AM 和 AB^AN的结果同号，那么M,N两点就在直线的同侧，否则不在同一侧。特殊地，如果点M在直线AB上，则AB^AM的值为0。（如果是在三维坐标系中，求出的叉积是一个向量，可以根据两个向量的点积结果正负来判断两个向量的是否指向同一侧） 

以上的问题解决了，就很容易的用来判断某个点是否在三角形内，如果P在三角形ABC内部，则满足以下三个条件：P,A在BC的同侧、P,B在AC的同侧、PC在AB的同侧。某一个不满足则表示P不在三角形内部。

2.面积法

如果点P在三角形ABC的内部，则三个小三角形PAB, PBC, PAC的面积之和 = ABC的面积，反之则不相等。

已知三角形的三个顶点坐标求其面积，可以根据向量的叉乘