二分查找笔记 十分细致的讲解

apply：对于具有单调性的函数，用 for 循环遍历，可以用二分查找进行降维打击

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。

其中…标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

一、寻找一个数（基本的二分搜索）

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

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1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？

答：明确目的————查找

即，不能漏过每一个数字

因为初始化right的赋值是nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间[left, right]，后者相当于左闭右开区间[left, right)，因为索引大小为nums.length是越界的。

我们这个算法中使用的是前者[left, right]两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

if(nums[mid] == target)
    return mid; 

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

while(left <= right)的终止条件是left == right + 1，写成区间的形式就是[right + 1, right]，或者带个具体的数字进去[3, 2]，可见这时候区间为空。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

while(left < right)的终止条件是left == right，写成区间的形式就是[right, right]，或者带个具体的数字进去[2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说明区间[2, 2]被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

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2、为什么left = mid + 1，right = mid - 1？

答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即[left, right]。那么当我们发现索引mid不是要找的target时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索[left, mid-1]或者[mid+1, right]对不对？因为mid已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
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3、此算法有什么缺陷？

答：这个算法存在局限性。

比如说有序数组nums = [1,2,2,2,3]，target为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到target的左侧边界，即索引 1，或者我想得到target的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

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四、逻辑统一

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)，结束时搜索区间[left，left+1]为空
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1，搜索过的数不再查找

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

最基本的二分查找，寻找一个数
思路：查找过的数不再查找

int binarySearch(int[] nums, int target){
	int left=0;
	int right = nums.length-1;//闭区间

	while(left<=right){
		int mid =left + (right-left)/2;
		if(num[mid]<target){
			left = mid+1;
		}else if(num[mid]>target){
			right = mid-1;
		}else if(num[mid]==target){
			return mid;//直接返回
		}
	}
	return -1;//直接返回
}

第二个，寻找左侧边界的二分查找：
不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

int left_bound(int[] nums, int target){
	int left=0;
	int right = nums.length - 1;//闭区间

	while(left<=right){
		int mid = left + (right - left) / 2;
		if(nums[mid]<target){
			left = mid + 1;
		}else if(nums[mid]>target){
			right = mid - 1;
		}else if(){
			right = mid - 1;// 别返回，收缩右侧边界
		}
	}
	// 检查left出界的情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}

第三个，寻找右侧边界的二分查找：
不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

最后，注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
感谢dong哥的博文，在此学习转载。