leetcode 300.最长上升子序列笔记

最新推荐文章于 2025-08-05 19:50:13 发布

原创最新推荐文章于 2025-08-05 19:50:13 发布 · 131 阅读

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#算法 #二分法

探讨如何通过贪心算法结合二分查找，将最长上升子序列问题的时间复杂度从O(n^2)优化至O(nlogn)，并附带代码实现。

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题目链接
给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:
可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

初始想法：

偏向动态规划的思路，从头或者从尾开始，记录每个数对应位置的最长上升子序列。
例如10处上升子序列是1，9处是1，2处是1，5处是2，3处是2。。。
一开始觉得这个算法是O(nlogn),后来一想，nums向量里每个新遍历的元素好像必须和前面所有序列比，这不O(n2)吗。。。这破题还不让我到O(n2)

官方：贪心 +二分法：

所谓贪心，即我们需要让序列上升得尽可能慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。

感觉这里的~~贪心形容的不是很准确~~ ，后来明白了其大概意思——
官方举例中[0,8,4,12,2] 的第五步插入，由[0,4,12]变为[0,2,12]是因为2处于0与4之间，此时2换掉4。考虑后续如果还有数，假设是6，此时6既大于4，也大于2，那么最大子序列依旧是3，倘若是3呢？3是小于4的，这时[0,4,12]就没有办法很好满足我们的需求了。因此将4替换维更小的2是必要的。
当一个数处于序列里两数之间时，用它替换掉较大的那个数，既部改变当前序列大小，又保证后续添数一定是最完美的方案！

接着就是二分法，没啥说头，这里就是O(n2)变O(nlogn)的原因了。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int len = 1, n = (int)nums.size();
        if (n == 0) return 0;
        vector<int> d(n + 1, 0);
        d[len] = nums[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            if (nums[i] > d[len]) d[++len] = nums[i];
            else{
                int l = 1, r = len, pos = 0;
                while (l <= r) {
                    int mid = (l + r) >> 1;
                    if (d[mid] < nums[i]) {
                        pos = mid;
                        l = mid + 1;
                    }
                    else r = mid - 1;
                }
                d[pos + 1] = nums[i];
            }
        }
        return len;
    }
};。