2019/2/12训练总结 单调栈和二分

今天补了补前两天单调栈和单调队列专题 和二分专题的题目

单调是一种思想，当我们解决问题的时候发现有许多冗杂无用的状态时，

我们可以采用单调思想，用单调队列或类似于单调队列的方法去除冗杂状态，保存我们想要的状态。

最后再总结一下单调栈。单调栈这种数据结构，通常应用在一维数组上。如果遇到的问题，和前后元素之间的大小关系有关系的话，我们可以试图用单调栈来解决。在思考如何使用单调栈的时候，可以回忆一下曾经做过的解题套路，然后想清楚，如果使用单调栈，每个元素出栈时候的意义。最后的时间复杂度，因为每个元素都出栈入栈各一次，所以是线性时间的复杂度。

 

对于二分来说，我们可以分为两类：1、整数域上的二分   2、实数域上的二分

但是总的二分的条件都是一样的：需要序列具有单调性。

1、整数域上的二分，分三步 (其中mid最好是>>1 而不是/2, 因为>>1 是向下取整，而/2是向0取整，在负数时很有用)

      （1）通过分析具体问题，确定左右半段哪一个是可行区间，以及mid归属那一半段。

      （2）根据分析结果，选择“r=mid, l=mid+1, mid=(l+r)>>1” 和 “l=mid,  r=mid-1, mid=(l+r+1)>>1”两个配套形式之一。

      （3）二分终止条件是l==r, 该值就是答案所在位置。

    （一定要注意区间的选择，区间[0,n] 和 [1,n+1] 这两个不能够乱用 ，0和n+1 都是越界下标，只有在特定情境下若没有找到才会等于越界下标）

例子：在单调递增序列a中查找>=x的数中的最小的一个：

while(l<r)
{
   int mid=(l+r)>>1;
   if(a[mid]>=x) r=mid; else l=mid+1;  
}
return a[l];

在单调递增序列a中查找<=x的数中的最大的一个。

while(l<r)
{
    int mid=(r+l+1)>>1;
    if(a[mid]<=x) l=mid; else r=mid-1;
}
return a[l];
2、实数域上的二分(重点是精度的确定)

 在实数域上的二分简单，重要的是确定好所需的精度eps，以l+eps<r为循环条件，每次根据在mid 上的判定选择r=mid  或 l=mid分支之一即可，一般需要保留k位小数是，则取eps=10^-(k+2)

while(l+1e-5<r)
{
    double mid=(l+r)/2;
    if(calc(mid)) r=mid;else l=mid;
}
有时精度不容易确定或者表示，就干脆采用循环固定次数的二分方法，也是一种相当不错的策略。这种方法得到的结果的精度通常比设置eps更高。 ----摘自《算法竞赛进阶指南》

for(int i=0;i<100;i++)
{
    double mid=(l+r)/2;
    if(calc(mid)) r=mid;else l=mid;
}