连号区间数

博客围绕1~N全排列中连号区间数的计算问题展开。给出问题描述、输入输出格式及样例,指出可通过判断第r个数减第l个数是否等于r - l来确定能否构成等差为1的连续数列,单个元素也算连续区间。

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问题描述

小明这些天一直在思考这样一个奇怪而有趣的问题:

在1~N的某个全排列中有多少个连号区间呢?这里所说的连号区间的定义是:

如果区间[L, R] 里的所有元素(即此排列的第L个到第R个元素)递增排序后能得到一个长度为R-L+1的“连续”数列,则称这个区间连号区间。

当N很小的时候,小明可以很快地算出答案,但是当N变大的时候,问题就不是那么简单了,现在小明需要你的帮助。

输入格式

第一行是一个正整数N (1 <= N <= 50000), 表示全排列的规模。

第二行是N个不同的数字Pi(1 <= Pi <= N), 表示这N个数字的某一全排列。

输出格式

输出一个整数,表示不同连号区间的数目。

样例输入1

4
3 2 4 1

样例输出1

7

样例输入2

5
3 4 2 5 1

样例输出2

9

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    int n,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    int a[n+5];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
     for(int i=0;i<n;i++)
     {
         int maxn=a[i];
         int minn=a[i];
          for(int j=i+1;j<n;j++)
          {
             if(a[j]>maxn)
                 maxn=a[j];
              if(a[j]<minn)
                  minn=a[j];
              if(maxn-minn==(j-i))
                  ans++;
          }
     }
    printf("%d\n",ans+n);
    return 0;
}

按照题目所给的元素顺序,看是否存在第r个数-第l个数等于r-l,这样的可以构成等差为1 的连续数列,连续区间为1 也行,吃时就是单个元素。

### 连号区间问题算法实现 对于连号区间的定义,如果一个序列中的元素形成连续整,则称此序列为连号区间。给定长度为 \(n\) 的组,目标是在合理的时间复杂度内找出所有的连号区间。 #### 解决方案描述 为了高效解决问题,可以考虑遍历整个组的同时维护当前可能形成的最长连号区间。具体来说,在遍历时记录前一位置的值以及当前正在构建的最大连号区间的起始点。每当遇到一个新的字时: - 如果新字恰好是前一个字加1,则认为找到了更长的一段连号; - 否则,意味着之前的连号已经结束,此时应该更新答案并将新的字视为下一个潜在连号区间的开始[^2]。 这种方法能够在线性时间内完成计算,适用于题目所提到的大规模输入情况(\(n \leq 500000\)),因为只需要单次扫描即可获得结果。 下面是基于上述思路的具体C++代码实现: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main(){ int n; cin >> n; bool first = true; long long last_num = 0, start_pos = 0, count = 0; for (int i = 0; i < n; ++i){ int num; cin >> num; if (!first && num != last_num + 1){ // 新连号区间开始 count += ((start_pos - i)*(start_pos - i + 1)) / 2; // 计算之前连号区间的贡献 start_pos = i; } last_num = num; first = false; } if(!first) { count += ((start_pos - n + 1)*(start_pos - n + 2)) / 2; // 处理最后一段连号区间 } cout << count << endl; } ``` 这段程序通过读入一系列整,并利用简单的逻辑判断来追踪每一段连号区间的位置变化,最终统计出所有符合条件的子串量。注意这里假设输入的据已经是按照升序排列好的,如果不是的话还需要额外加入排序步骤。
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