关于一个图中是否存在负环（更新版）

负环的判断

第一次写博客，表示心里很慌

我第一次接触负环的判断是在一道差分约束的题目里：点击打开链接

以下为假算法

说实话，这道题目其实是比较裸的判负环，但是很多人就卡在负环上，有的人会用dijkstra算法（因为dij的原理是贪心，当有负权环的时候它的贪心策略就不成立了，所以不行），有的人用SPFA，但是用的BFS，于是。。。光荣的TLE了，原因就在于在判断以及之后的退出上DFS比BFS更有力，所以要用DFS，那么具体的操作呢？

先来看看正常情况（单源最短路）下的bfs版SPFA：

 

//h[]初始化为INF

void SPFA()
{
    int he=0,t=1;//手写队列，虽然queue很好用，但我还是爱手写
    h[st]=0;vis[st]=true;
    d[1]=st;//d[]就是队列数组
    do{//这个循环干啥的应该都懂
        he++;
        int p=d[he];
        vis[p]=false;
        for(register int i=head[p];i!=-1;i=e[i].next)//我建图一般用前向星，vector版的应该是for(int j=0;j<e[sta].size();j++)
        {
            int v=e[i].to;//列举下一个节点
            if(h[v]>h[p]+e[i].dis)//判断谁更短
            {
                h[v]=h[p]+e[i].dis;
                if(!vis[v]){//是否访问过该节点
                    d[++t]=v;//没有则入队
                    vis[v]=true;//标记
                }
            }
        }
    }while(he<t);
}

那么这种算法在出现了负环的情况下会如何呢？

 

我们就以这个有点鬼畜的环为例，假设我们搜到了a节点，继续搜b节点，因为边权为负，所以h[a]更新，那么搜b、搜c、搜d时，因为边权都是负的，那么都会更新相应节点的h值，这个时候……我们搜回a节点了，将要发生的一切，似乎就顺理成章了，死循环到天荒地老……那么要如何避免呢？

 

如果你用BFS，那么判定的依据是一个点入队超过n次，这个复杂度足以让你绝望了，但是如果说是DFS，判断的依据就是多次被搜到，这个解决起来就方便多了，看一看代码：

struct node
{
    int next;
    int to;
    int dis;
}e[500010];
bool vis[500001],flag;//flag标记负环
void add(int u,int v,int w)
{
    
    e[++tot].to=v;
    e[tot].next=head[u];
    e[tot].dis=w;
    head[u]=tot;
}
void dfs(int sta)
{
	vis[sta]=true;
	if (flag) return;
    for (int i=head[sta];i;i=e[i].next){
         int v=e[i].to;
        if (h[sta]+e[i].dis<h[v])
		{
            h[v]=h[sta]+e[i].dis;
            if (vis[v]){  
                flag=true;
                return;
            }
			else
            dfs(v);
        }
    }
    
	vis[sta]=false;
	return ; 
}

//主函数里的调用是for(int i=1;i<=n;i++){dfs(i);if(flag)  break;}


在这里有一个优化，原版的SPFA的h[]数组初始化时是赋的INF，一个极大的数，这在单源最短路是对的，但在判负环时反而会拖慢效率，所以不如把h[]初始化为0，那么只有出现负权边时才会更新并搜索，在发现负环后立马退出，极大的提升了效率，至于别的快读之类的优化就看你个人了。


有关负环我就讲这么多，推荐一些练习：洛谷P1993 P3385 poj3259  洛谷P2850

更新一下啊

学长讲的dfsSPFA貌似有道理，我就没有关注过正确性，然而事实证明dfs的复杂度存在很大的问题，不信您可以看看洛谷的[模板]负环，所以用bfs版的 比较好吧，dfs虽然在随机数据的情况下表现出色，但是鬼知道出题人是怎么出的数据……

丢一篇题解逃之夭夭

#include <bits/stdc++.h>
//#define LOCAL

using std::min;
using std::max;
using std::queue;

const int MAXN = 10100;
const int MAXE = 40000;
const int INF = 0x7FFFFFFF;

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define Debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define getchar() *S ++
char RR[3 * 1024 * 1024], *S = RR;

template <typename T> inline void read(T &x) {
    int c = getchar();
    bool f = false;
    for (x = 0; !isdigit(c); c = getchar()) {
        if (c == '-') {
            f = true;
        }
    }
    for (; isdigit(c); c = getchar()) {
        x = x * 10 + c - '0';
    }
    if (f) {
        x = -x;
    }
}

struct Edge {
    int to, nxt, len;
    Edge() {}
    Edge(int _to, int _nxt, int _len) : to(_to), nxt(_nxt), len(_len) {}
}E[MAXE];

int p, h[MAXN], vis[MAXN], d[MAXN], sum[MAXN];
int n, m, T;
queue<int>q;

inline void init() {
    p = 0;
    memset(h, 0, sizeof(h));
    while(!q.empty()) q.pop();
}

inline void add_edge(int u, int v, int w) {
    E[++p] = Edge(v, h[u], w), h[u] = p;
}

inline bool SPFA(int x) {
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    while(!q.empty()) q.pop();
    vis[x] = 1; d[x] = 0;
    sum[x] = 0;
    q.push(x);
    while(!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        vis[u] = 0;
        for(int i = h[u]; i; i = E[i].nxt) {
            int v = E[i].to;
            if(d[v] > d[u] + E[i].len) {
                d[v] = d[u] + E[i].len;
                sum[v] = sum[u] + 1;
                if(sum[v] >= n) return 1;
                if(!vis[v]) {
                    vis[v] = 1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
signed main() {
    fread(RR, 1, sizeof(RR), stdin); 
    read(T);
    while(T --) {
        read(n), read(m);
        for(int i = 1, a, b, c; i <= m; i++) {
            read(a), read(b), read(c);
            add_edge(a, b, c);
            if(c >= 0) add_edge(b, a, c);
        }
        if(SPFA(1)) puts("YE5");
        else puts("N0");
        init();
    }
#ifdef LOCAL
    Debug("My Time: %.3lfms\n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
    return 0;
}