【UVa】【DP】1633 Dyslexic Gollum

最新推荐文章于 2020-09-13 14:24:45 发布

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分类专栏： # 状压DP # UVa 文章标签： UVa 状压DP 思维

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本文介绍UVa1633题目的解题思路与实现代码，该题要求计算特定长度01串中不含指定长度回文子串的数量，并通过动态规划方法给出解答。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

UVa 1633 Dyslexic Gollum

题目

◇题目传送门◆（由于UVa较慢，这里提供一份vjudge的链接）
◇题目传送门（vjudge）◆

题目大意

输入正整数 $N,K$ ，求长度为 $N$ 的01串中有多少个不含长度为至少为 $k$ 的回文连续子串。答案对 $10^9+7$ 取模。

思路

若一个字符串包含一个长度为 $k$ 的回文字符串，则它肯定包含一个长度为 $k-1$ 的回文字符串。故我们在考虑第 $i$ 位时，只要这个字符串的前缀中不含有长度为 $k$ 的回文子串，就可以考虑当前这一位是否满足条件，所以就能进行DP了。

定义状态 $f[i][j]$ 为长度为 $i$ 的串最后 $K$ 位为 $j$ 时的串的个数。因为 $K$ 较小，所以可以进行状态压缩。

但是，我们不能仅仅只考虑 $K$ 的长度！！！例如：当 $i=3,j=011$ 时，状态就有可能转移到 $i=4,j=0110$ 。显然这是一个非法的状态！所以我们必须在递推时多考虑一位！！！

具体细节见代码。

正解代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Mod=1000000007;
const int Maxn=400;
const int Maxk=10;

int f[Maxn+1][1<<Maxk+3];
int N,K;
int bit[Maxk+5];
bool p[Maxk+3][1<<Maxk+3];

bool Check(int x,int k) {
    int tmp[Maxk+5]={};
    int cnt=0;
    while(x) {
        tmp[cnt++]=x%2;
        x/=2;
    }
    for(int i=0;i<k/2;i++)
        if(tmp[i]!=tmp[k-i-1])
            return false;
    return true;
}//判断是否是回文子串

int cal(int x,int y,int k) {
    if(x>=bit[k])x-=bit[k];
    return x<<1|y;
}//取出最后K位

void Init() {
    bit[0]=0;
    bit[1]=1;
    for(int i=2;i<=Maxk+2;i++)
        bit[i]=bit[i-1]<<1;
    for(int i=1;i<Maxk+3;i++)
        for(int j=0;j<(1<<i);j++)
            if(Check(j,i))p[i][j]=true;
    //预先处理出长度为i，最后K位为j时是否是回文串
}

int main() {
    #ifdef LOACL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    Init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d %d",&N,&K);
        if(K==1) {
            puts("0");
            continue;
        }//特判K=1!!
        memset(f,0,sizeof f);
        f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=N;i++)
            for(int j=0;j<(1<<min(i,K));j++) {
                if(!f[i-1][j])
                    continue;
                for(int x=0;x<2;x++) {
                    int tmp=cal(j,x,K);
                    if(i>=K&&p[K][tmp])continue;//后K位是回文子串
                    if(i>=K+1&&p[K+1][j<<1|x])continue;//后K+1位是回文子串
                    f[i][tmp]=(f[i][tmp]+f[i-1][j])%Mod;
                }
            }
        int ans=0;
        for(int i=0;i<(1<<K);i++)
            ans=(ans+f[N][i])%Mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}