理解Hopcroft DFA最小化算法

原创 已于 2023-05-12 11:27:58 修改 · 3.2k 阅读 · 11 ·
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于 2023-05-01 03:51:21 首次发布
文章介绍了Hopcroft算法用于DFA最小化的原理和步骤。该算法通过迭代过程，基于等价类的概念逐步细化状态划分，直到所有等价类不再需要进一步划分。在每次迭代中，算法会选择一个工作列表中的等价类，分析其对其他等价类的影响，更新状态集合的划分。该过程有助于优化编译器性能，减少状态数量。

问题引入

在构造编译器的Scanner时，常见的解决方法是使用自动机技术。从文法构造出的DFA的状态数过多会影响编译器的性能。DFA中有一些状态本质上是等价的，我们需要一种自动化算法用于最小化DFA。

算法介绍

常见的DFA最小化算法有三种，分别是Moore算法、Hopcroft算法和Brzozowski算法。
很多教材，包括我们学校使用的教材（龙书）中给出的方法都是Moore算法。

Hopcroft算法

话不多说，先上伪代码：
在这里插入图片描述

符号解释

先解释一下这里使用的一些数据结构

Partition

当前等价类集合。最早是两个等价类，分别是输入DFA中的接收状态集合和非接收状态集合。

NextP

在一次迭代之后更新之后的等价类集合。NextP的功能是暂存变化的等价类，这能起到一个同步更新划分的作用。

Worklist

这个比较有意思。它维护的是一个“可能会导致当前等价类需要进一步划分”的等价类列表。（请记住这个定义）举个例子，考虑等价类{A, B}、{C, D}、{E}。DFA中有边A->C和B->E，这时{C, D}就导致了{A, B}需要进一步划分成{A}、{B}。在每一轮迭代中，会从Worklist中选出一个等价类s，然后考察每个当前等价类（Partition）中的集合p，看s是否会导致p需要进一步划分。

细节解释

现在来分步看这段伪代码。<

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Hopcroft算法的实现（JavaScript）
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然后，通过迭代划分的过程，对每个划分根据输入符号进行分类，得到新的划分，直到没有发生新的划分为止。最后，合并相同状态集合的划分，得到状态最小的DFA。Hopcroft算法的核心思想是将DFA的状态集合划分为两类：一类是不可区分的状态集合，即这些状态在任意输入下的转换结果完全相同；另一类是可区分的状态集合，即这些状态在某个输入下的转换结果不同。通过迭代地划分状态集合，最终得到一个状态最小的DFA。使用示例中的输入DFA，经过Hopcroft算法的处理，得到的最小化DFA将被输出到控制台。
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