HDU 4549 新增5_M斐波那契数列矩阵快速幂

斐波那契数列的矩阵快速幂求解

最新推荐文章于 2019-06-03 20:05:05 发布

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂的方法来高效计算特殊斐波那契数列F[n]的问题。该方法适用于解决大规模数据输入的情况，通过构建特定的矩阵并运用快速幂运算技巧，避免了传统递归方法的时间复杂度过高的问题。

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0
6 10 2

Sample Output

0
60

写出几项可以发现，a,b的幂次都满足斐波那契数列，但是要注意对应关系，并且求取的过程要用到矩阵快速幂，不然会T。

由斐波那契数列递推式，F（n）=F(n-1)+F(n-2)

可以得到用来计算幂次的矩阵为

1 1

1 0

最后要注意在计算中要先初始化一个单位矩阵，并且最后讨论map[0][1]（A的幂次）与map[0][0]（B的幂次）是否相对应

并且取余的过程要注意，如果对1e9+7取余的话（由费马小定理），会出现错误

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define mod1  1000000007
#define mod2  1000000006  

struct martix{
	long long map[2][2];
};


martix mul(martix a,martix b)
{
	martix ans;
	ans.map[0][0]=ans.map[1][1]=ans.map[0][1]=ans.map[1][0]=0;
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
		{
			for(int k=0;k<2;k++)
			{
				ans.map[i][j]=(ans.map[i][j]+(a.map[i][k]*b.map[k][j])%mod2)%mod2;
			}
		}
	}
	return ans;
}

martix Quick_pow(martix a,long long b)
{
	martix ans;
	ans.map[0][0]=ans.map[1][1]=1;
	ans.map[0][1]=ans.map[1][0]=0;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=mul(ans,a);
		b >>= 1;
		a=mul(a,a);
	}
	return ans;
}

long long quick_pow(long long a,long long b)
{
	long long ans=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1)
			ans=(ans*a)%mod1;
		a=(a*a)%mod1;
		b>>=1;;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	long long a,b,n,answer,tmp1,tmp2;
	martix temp,A;
	temp.map[0][0]=temp.map[0][1]=temp.map[1][0]=1;
	temp.map[1][1]=0;
	while(~scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n))
	{
		if(n==0)
		{
			printf("%lld\n",a);
			continue;
		}
		A=Quick_pow(temp,n-1);
		/*for(int i=0;i<2;i++)
		{
			for(int j=0;j<2;j++)
				printf("%lld ",A.map[i][j]);
			printf("\n");
		}*/
		tmp1=quick_pow(a,A.map[0][1]);
		tmp2=quick_pow(b,A.map[0][0]);
		answer=(tmp1*tmp2)%mod1;
		printf("%lld\n",answer);
	}
}