leetcode - 494. 目标和

494. 目标和

————————————————————————————————————————————
给定一个非负整数数组，a1, a2, …, an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例 1:
输入: nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出: 5
解释:

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

注意:
数组的长度不会超过20，并且数组中的值全为正数。
初始的数组的和不会超过1000。
保证返回的最终结果为32位整数。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/target-sum
————————————————————————————————————————————
这道题最直接的方法就是DFS深度优先遍历，不过可能超时，但是还有一个很棒的DP做法，我是参考网上的分析，主要分析如下：

1、该问题求解数组中数字只和等于目标值的方案个数，每个数字的符号可以为正或负(减整数等于加负数)。

2、该问题和矩阵链乘很相似，是典型的动态规划问题

3、举例说明: nums = {1,2,3,4,5}, target=3, 一种可行的方案是+1-2+3-4+5 =3

该方案中数组元素可以分为两组，一组是数字符号为正(P={1,3,5})，另一组数字符号为负(N={2,4})

因此: sum(1,3,5) - sum(2,4) = target

sum(1,3,5) - sum(2,4) + sum(1,3,5) + sum(2,4) = target + sum(1,3,5) + sum(2,4)

2sum(1,3,5) = target + sum(1,3,5) + sum(2,4)

2sum§ = target + sum(nums)

sum§ = (target + sum(nums)) / 2

由于target和sum(nums)是固定值，因此原始问题转化为求解nums中子集的和等于sum§的方案个数问题

4、求解nums中子集合只和为sum§的方案个数(nums中所有元素都是非负)

该问题可以通过动态规划算法求解

举例说明：给定集合nums={1,2,3,4,5}, 求解子集，使子集中元素之和等于9 = new_target = sum§ = (target+sum(nums))/2

定义dp[10]数组, dp[10] = {1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}

dp[i]表示子集合元素之和等于当前目标值的方案个数, 当前目标值等于9减去当前元素值

当前元素等于1时，dp[9] = dp[9] + dp[9-1]

dp[8] = dp[8] + dp[8-1]

…

dp[1] = dp[1] + dp[1-1]

当前元素等于2时，dp[9] = dp[9] + dp[9-2]

dp[8] = dp[8] + dp[8-2]

…

dp[2] = dp[2] + dp[2-2]

当前元素等于3时，dp[9] = dp[9] + dp[9-3]

dp[8] = dp[8] + dp[8-3]

…

dp[3] = dp[3] + dp[3-3]

当前元素等于4时，

…

当前元素等于5时，

…

dp[5] = dp[5] + dp[5-5]

最后返回dp[9]即是所求的解
————————————————
版权声明：本文为优快云博主「JackZhangNJU」的原创文章，遵循CC 4.0 by-sa版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/JackZhang_123/article/details/78793365
————————————————————————————————————————————
这道题就是转化一下，转化为求数组子集等于某个值的方法数。dp[i]表示数组子集之和为i的方法数的数量。dp[i]初始化为0(dp[0]初始化为1，意思是数组之和为0的方法数是1个)。然后对于数组中的每个数，计算dp[i] = dp[i] + dp[i-nums[j]]，比如dp[9]的意思是数组子集之和为9的方法数，这时候对于数组nums中的某一个数2，则有dp[9] = dp[9] + dp[7]，意思是当子集中有一个数是2时，其余数据相加之和为7的方法数，进行求和统计。其C++代码如下：

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int s) {
        int all = accumulate(nums.begin(),nums.end(),0);  #计算nums之和
        if(all<s||(all+s)%2!=0)   
            return 0;
        int length = nums.size();
        int p = (all + s) / 2;
        vector<int> dp(p+1,0);
        dp[0] = 1;
        for(int i=0;i<length;i++)
        {
            for(int j=p;j>=nums[i];j--)
                dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i]];
        }
        return dp[p];
    }
};