【计算机视觉】多视几何之基础矩阵估计

目录

一、对极几何

1.1 对极几何的概念

1.2 基本模型

1.3 对极几何约束

二、基础矩阵（F）

三、基础矩阵估计方法

3.1 八点估算法

3.2 ransac随机采样一致法估算

四、基础矩阵估计代码实现

4.1 代码

4.2 代码运行结果：

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一、对极几何

1.1 对极几何的概念

对极几何（Epipolar Geometry）是Structure from Motion问题中，在两个相机位置产生的两幅图像的之间存在的一种特殊几何关系，是sfm问题中2D-2D求解两帧间相机姿态的基本模型。

1.2 基本模型

c0、c1为两个相机中心；p为空间中一点；p在c0、c1对应像平面上的投影分别为x0、x1。

极平面（Epipolar Plane）：两个相机坐标原点C0、C1和物体P三点组成的平面。

对极平面束（epipolar pencil）：以基线为轴的平面束

极线（Epipolar Lines）：极平面和两个像平面的交线，I0和I1

极点（Epipoles）:e0为右相机原点在左像平面的投影;e1为左相机原点在右像平面的投影

1.3 对极几何约束

下面等式称为对极约束（Epipolar Constraint）

 

对极约束的几何意义：x1、t、Rx0三者混合积为0，表示这三个向量共面，即上图中三角形的三边共面。

令E=t×RE=t×R，得到对极约束的新形式：

E称为本质矩阵（Esential Matrix），由外参数R和t决定。

本质矩阵的几何意义：，即x1在直线上，表示E将x0投影到另一帧图像中的直线l1上。

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二、基础矩阵（F）

基本矩阵就表示了这种从点到直线的射影映射关系。

  存在这么一个矩阵F，使得空间中不在两图像平面上的任意点X分别在两图像的投影坐标x,x'满足等式(x')T*F*x=0，即x'的转置乘以F，再乘以x的结果为0，那么F就是左边图像到右边图像的基本矩阵，从公式上可以看出基本矩阵是有方向的，右图到左图的基本矩阵就是F的转置。F矩阵有如下性质：
1、秩为2；
2、F矩阵是一个7个自由度的3*3矩阵(3*3矩阵本身9个自由度，因为相差一个常数因子和行列式值为0两个条件，减掉2个自由度)，相差一个常数因此的意思是：kF(k!=0)也是基本矩阵，也就是说如果F是基本矩阵，那么kF也是基本矩阵，所以基本矩阵不唯一，在相差一个倍数的前提下是唯一的，也就是我们可以固定矩阵中某一个非零元素的值，这样自然少一个自由度。

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