信号与系统知识点整理1-3··_离散时间信号的展缩-优快云博客

本文介绍了信号处理中的基本运算，包括加法、乘法、反转、平移及尺度变换等，并详细解释了这些运算的数学表达及其几何意义。

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信号的基本运算

加法和乘法

信号 $f_1(·)$ 与 $f_2(·)$ （瞬时和）是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的“和信号”，即
$f(·)=f_1(·)+f_2(·)$
信号 $f_1(·)$ 与 $f_2(·)$ 之积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的“积信号”，即
$f(·)=f_1(·)f_2(·)$
离散序列相加（或相乘）可采用对应样点的值分别相加（或相乘）的方法来计算。

反转和平移

将信号 $f (t)$ [或 $f (k)$ ]中的自变量 $t$ （或 $k$ ）换为 $- t$ （或 $- k$ ）,其几何含义是将信号 $f (\cdot)$ 以纵坐标为轴翻转（或称反折）
平移也称为移位。对于连续信号 $f (t)$ ，若有常数 $t_0>0$ ，延时信号 $f(t-t_0)$ 是将原信号沿 $t$ 轴正方向平移 $t_0$ 时间，而 $f(t+t_0)$ 是将原信号沿 $t$ 轴负方向平移 $t_0$ 时间。对于离散时间 $f (k)$ ，若有整常数 $k_0>0$ ，延时信号 $f(k-k_0)$ 是将原序列沿 $k$ 轴正方向平移 $k_0$ 单位，而 $f(k+k_0)$ 是将原序列沿 $k$ 轴负方向平移 $k_0$ 单位。

尺度变换（横坐标展缩）

设信号 $f (t)$ ，如需将信号横坐标的尺寸展宽或压缩（常称为尺寸变换），可用变量 $a t$ （ $a$ 为非零）替代原信号 $f (t)$ 的自变量 $t$ ，得到信号 $f (a t)$ 。若 $a > 1$ ，则信号 $f (a t)$ 将原信号 $f (t)$ 以原点 $(t = 0)$ 为基准，沿横轴压缩到原来的 $1a\displaystyle\frac{1}{a}$ ，若 $0 < a < 1$ ，则 $f (a t)$ 表示将 $f (t)$ 沿横轴展宽至 $1a\displaystyle\frac{1}{a}$ 倍。
离散信号通常不作展缩运算，这是因为 $f (a k)$ 仅在 $a k$ 为整数时才有定义，而当 $a > 1$ ，或 $a < 1$ ，且 $a≠1ma\ne\displaystyle\frac{1}{m}$ （ $m$ 为整数）时，它常常丢失原信号 $f (k)$ 的部分信息。