单调栈学习

学习可参考如下博客:

单调栈原理及应用 详解 附各种类型的题目练习

视频学习:【算法讲堂】【电子科技大学】【ACM】单调队列与单调栈

单调栈:顾名思义,单调递增或单调减的栈,跟单调队列差不多

提到单调栈,有的人又和ST算法进行了对比,所以,我又查询了下ST表(链接),求法很像树状数组。

解决的问题:

  1. 最基础的应用就是给定一组数,针对每个数,寻找它和它右边第一个比它大的数之间有多少个数。
  2. 给定一序列,寻找某一子序列,使得子序列中的最小值乘以子序列的长度最大。
  3. 给定一序列,寻找某一子序列,使得子序列中的最小值乘以子序列所有元素和最大。

 

<think>好的,我现在需要回答用户关于单调栈的问题,用户想了解它的定义和应用场景。首先,我需要确保自己正确理解单调栈的概念,并且能够用中文清晰地表达出来。根据提供的引用资料,单调栈是一种特殊的栈结构,栈内元素保持单调递增或递减。引用[1]中提到,单调栈的本质是栈,但要求元素保持单调性,这应该是定义的核心部分。 接下来,我需要详细解释单调栈的原理。引用[4]提到了单调递增栈和单调递减栈的区别,并且强调了栈顶到栈底的顺序。可能需要举例子来说明,比如用户提供的例子nums=[9,2,7,1,6,4,3,5],或者引用[3]中的数组[4,3,2,5,7,4,6,8]。这些例子可以帮助用户更好地理解构建单调栈的过程。 然后,应用场景部分,引用[5]提到了几种情况,比如寻找下一个较大或较小元素,计算滑动窗口的最值,解决动态规划问题等。我需要将这些场景具体化,可能举一些实际的例子,比如LeetCode中的题目,或者常见的算法问题,如接雨水问题、柱状图中最大矩形等。 同时,需要注意用户提到的LaTeX格式要求,所有数学表达式需要用$...$,独立公式用$$...$$。比如,在解释单调栈处理元素时,如果有数学表达式,需要正确应用格式。不过可能在这个问题中数学表达式较少,但如果有的话要检查是否符合要求。 用户还希望生成相关问题,我需要根据内容生成几个相关的问题,比如实现方式、具体应用案例、与其他数据结构的对比等。这些问题应该帮助用户进一步深入学习单调栈的概念。 在引用资料时,要确保正确标注,比如在提到原理时引用[1],举例时引用[2][3],应用场景时引用[5]。需要确保每个引用都自然融入内容中,比如在解释构建过程时提到“如引用[2]中的序列分析”,或者在描述应用时引用[5]提到的场景。 最后,检查整个回答的结构是否清晰,是否符合用户要求的格式,是否有语法错误,特别是LaTeX部分是否正确使用。确保回答真实可靠,引用正确,并且用中文自然表达。</think>### 单调栈的定义及应用场景 #### 1. 定义与原理 **单调栈**是一种特殊的数据结构,本质上是栈,但要求栈内元素保持**单调性**(单调递增或单调递减)。其核心思想是**通过维护元素的单调性,快速找到某一元素在特定方向上的边界**。例如: - **单调递增栈**:从栈顶到栈底,元素依次递增,适用于寻找“下一个更小元素”。 - **单调递减栈**:从栈顶到栈底,元素依次递减,适用于寻找“下一个更大元素”[^1][^4]。 #### 2. 构建过程示例 以数组 $nums = [9,2,7,1,6,4,3,5]$ 为例,构建单调递减栈的过程如下: 1. 初始栈为空,依次将元素入栈。 2. 当遇到比栈顶大的元素时,弹出栈顶元素,直到满足单调性。 3. 最终栈内保持从顶到底递减的顺序[^2][^3]。 #### 3. 应用场景 单调栈的典型应用包括: 1. **寻找下一个更大/更小元素** 例如:LeetCode 问题“下一个更大元素 I”。 2. **计算滑动窗口的最大值/最小值** 结合单调队列(双端单调栈)优化时间复杂度。 3. **解决序列极值问题** 如“柱状图中的最大矩形”(LeetCode 84)和“接雨水”(LeetCode 42)[^5]。 4. **动态规划优化** 在状态转移过程中利用单调性减少重复计算。 #### 4. 代码实现示例 以单调递减栈为例,Python 实现如下: ```python def monotonic_stack(nums): stack = [] result = [-1] * len(nums) for i in range(len(nums)): while stack and nums[i] > nums[stack[-1]]: idx = stack.pop() result[idx] = nums[i] stack.append(i) return result ``` 此代码为每个元素找到其右侧第一个更大的元素[^3]。 #### 5. 与其他数据结构的对比 - **普通栈**:仅支持后进先出,无单调性约束。 - **单调队列**:支持两端操作,适用于滑动窗口类问题。 ---
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